Stella di piani

In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.

Equazione della stella di piani

L'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado $h$ e $k$; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.

$a(h,k)x+b(h,k)y+c(h,k)z+d(h,k)=0$.

È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri $k$ in modo da separare l'equazione come segue:

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}+h(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})+k(a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3})=0$;

i tre piani:

${\begin{matrix}\Pi _{1}:&a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\\\Pi _{2}:&a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\\\Pi _{3}:&a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3}=0\end{matrix}}$

sono detti generatori della stella.

Il piano $\Pi _{1}$ si ottiene per $h=k=0$, mentre $\Pi _{2}$ e $\Pi _{3}$, pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di $h$ e $k$.

A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:

• i tre piani si incontrano in un unico punto $P$; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per $P$;

• i piani sono tutti paralleli ad una retta $r$ (pur incontrandosi a due a due): la stella è detta impropria e tutti i piani che le appartengono sono paralleli a $r$;

• i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.

Combinazione lineare di piani

La definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:

$\lambda (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1})+\mu (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2})+\nu (a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z+d_{3})=0\;$,

dove $\lambda$, $\mu$ e $\nu$ sono tre parametri reali non tutti nulli.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna $(\lambda ,\mu ,\nu )\;$ con lo stesso rapporto $\lambda :\mu :\nu \;$ individua lo stesso fascio. Se, ad esempio, $\nu \neq 0$, possiamo utilizzare i due parametri $h={\frac {\lambda }{\nu }}$ e $k={\frac {\mu }{\nu }}$ per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo $[\lambda ,\mu ,\nu ]\in \mathbb {P} ^{2}$.

Altri insiemi ottenibili dalla stella di piani

• fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani;
• sezionando una stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.

Voci correlate

• Fascio di piani
• Stella di rette
• Fascio di rette
• Coordinate omogenee