Stella di piani
In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.
Equazione della stella di piani
modificaL'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado e ; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.
- .
È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri in modo da separare l'equazione come segue:
- ;
i tre piani:
sono detti generatori della stella.
Il piano si ottiene per , mentre e , pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di e .
A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:
- i tre piani si incontrano in un unico punto ; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per ;
- i piani sono tutti paralleli ad una retta (pur incontrandosi a due a due): la stella è detta impropria e tutti i piani che le appartengono sono paralleli a ;
- i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.
Combinazione lineare di piani
modificaLa definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:
- ,
dove , e sono tre parametri reali non tutti nulli.
A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna con lo stesso rapporto individua lo stesso fascio. Se, ad esempio, , possiamo utilizzare i due parametri e per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo .
Altri insiemi ottenibili dalla stella di piani
modifica- fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani;
- sezionando una stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.