Stella di piani

In geometria, una stella di piani propria è l'insieme degli infiniti piani che hanno in comune un solo punto, detto centro della stella. Per contro una stella di piani impropria è l'insieme degli infiniti piani paralleli a una retta assegnata r.

Equazione della stella di pianiModifica

L'equazione di una stella di piani corrisponde a quella di un piano, in cui i coefficienti dipendono da due parametri liberi di primo grado   e  ; ogni possibile valore della coppia di parametri determina un unico piano della stella.

 .

È sempre possibile eseguire un raccoglimento parziale dei parametri   in modo da separare l'equazione come segue:

 ;

i tre piani:

 

sono detti generatori della stella.

Il piano   si ottiene per  , mentre   e  , pur appartenendo alla stella, non sono ricavabili per alcun valore reale dei parametri, si possono solamente approssimare tramite i piani ottenuti per valori molto grandi di   e  .

A seconda della posizione reciproca dei tre piani generatori, si possono verificare diverse situazioni:

  • i tre piani si incontrano in un unico punto  ; la stella è detta propria e tutti i piani che le appartengono passano per  ;
  • i piani sono tutti paralleli ad una retta   (pur incontrandosi a due a due): la stella è detta impropria e tutti i piani che le appartengono sono paralleli a  ;
  • i piani sono paralleli fra di loro e hanno in comune la stessa normale: la stella è detta impropria e tutti piani che le appartengono sono paralleli fra di loro.

Combinazione lineare di pianiModifica

La definizione più generale di stella di piani utilizza due parametri reali proiettivi: la sua equazione è data dalla combinazione lineare delle equazioni dei tre piani generatori:

 ,

dove  ,   e   sono tre parametri reali non tutti nulli.

A differenza delle precedenti equazioni, quest'ultima contiene tutti i piani della stella. Ogni terna   con lo stesso rapporto   individua lo stesso fascio. Se, ad esempio,  , possiamo utilizzare i due parametri   e   per caratterizzare il fascio. La terna di parametri si può allora considerare come un unico parametro nel piano proiettivo  .

Altri insiemi ottenibili dalla stella di pianiModifica

  • fissando uno dei parametri liberi, si ottiene un fascio di piani;
  • sezionando un stella di piani con un piano passante per il centro di tale stella, si ottiene un fascio di rette.

Voci correlateModifica

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