Teorema dell'elemento primitivo

In matematica, il teorema dell'elemento primitivo è un risultato della teoria dei campi che caratterizza le estensioni algebriche che sono semplici, ovvero che possono essere generate da un unico elemento (detto appunto elemento primitivo per l'estensione).

Teorema

modifica

Esistono due formulazioni del teorema dell'elemento primitivo.

La prima è la seguente: un'estensione algebrica   è semplice (ossia possiede un elemento primitivo) se e solo se ci sono solo un numero finito di campi intermedi (ossia di campi   tali che  ).

Nella seconda, sia   un'estensione algebrica finita di  . Se   sono separabili su  , allora l'estensione   è semplice.

In entrambi i casi, un corollario immediato è che ogni estensione separabile finita di   è semplice; in particolare, ogni estensione finita di un campo di caratteristica 0 (ad esempio, ogni campo di numeri, ossia ogni estensione finita dei numeri razionali) è un'estensione semplice.

Un'altra conseguenza diretta è che le estensioni finite dei campi finiti sono semplici.

Elementi primitivi

modifica

Le dimostrazioni di entrambe le forme del teorema mostrano che, se un elemento primitivo esiste, allora ha la forma  , dove   e gli   sono elementi di  ; in particolare, mostrano che, ad eccezione di un numero finito di  -uple  , l'elemento   è sempre primitivo (in particolare, non è unico).

Le dimostrazioni mostrano inoltre che, se   è generato da due elementi, allora   è un elemento primitivo se

 

dove gli   sono i coniugati di   su   e i   sono i coniugati di  .

  • Se  , un elemento primitivo dell'estensione è  .
  • Più in generale, se   e   sono estensioni normali di   e  , allora   è un elemento primitivo di  .
  • Se   e due degli   non sono separabili, allora l'estensione può non essere semplice. Ad esempio, se   è un campo di caratteristica   e   sono due indeterminate su  , allora l'estensione
 
non è semplice, in quanto ha grado   ma ogni elemento di   ha grado   su  .

Bibliografia

modifica
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica