Teorema di Bolzano

teorema matematico

In analisi matematica il teorema di Bolzano, detto anche teorema degli zeri per le funzioni continue, assicura l'esistenza di almeno una radice delle funzioni continue reali che assumano segni opposti ai due estremi di un intervallo. Il teorema è stato dimostrato dal matematico boemo Bernard Bolzano.

EnunciatoModifica

Consideriamo una funzione   continua. Supponiamo che   e   abbiano segno opposto, ovvero

 

Allora esiste almeno un punto   tale che

 [1].

Dimostrazione (per assurdo)Modifica

Senza perdita di generalità poniamo  . La dimostrazione seguente è una dimostrazione per assurdo. Si suppone quindi che   sia diverso da zero per ogni   nell'intervallo. Si definisce l'insieme seguente  :

 

L'insieme   non è vuoto, perché contiene  , inoltre   è superiormente limitato da   poiché   dunque per l'assioma di completezza dei reali esiste  .

L'estremo superiore è caratterizzato da queste due proprietà

  1.   è un maggiorante di  ,
  2. se   allora   non è un maggiorante di  .

Il valore   è diverso da zero, ed è quindi positivo o negativo. In entrambi i casi si giunge ad un assurdo.

  • Se  , allora per le ipotesi   e per la permanenza del segno sulle funzioni continue esiste un   tale che per ogni   appartenente all'intorno   vale  , ma ciò è assurdo perché in contrasto con la prima proprietà dell'estremo superiore;
  • Se  , allora per le ipotesi   e sempre per la permanenza del segno sulle funzioni continue, esiste   tale che per ogni   appartenente all'intorno   vale  : ciò è in contrasto con la seconda proprietà dell'estremo superiore.

Dimostrazione (con metodo di bisezione)Modifica

L'idea è quella di costruire una successione reale convergente ad un punto che si verifichi essere proprio lo zero della funzione data.

Si ponga  ,  .

Poi si definisca  .

Se   allora non c'è più niente da dimostrare.

Se invece   si ponga   e  ; al contrario, se  , si ponga   e  .

Al generico passo   si ponga induttivamente  . Se   non c'è più nulla da dimostrare, se   si ponga   e  , se invece   si ponga   e  .

Risultano così costruite induttivamente le tre successioni  ,   e  .

Si vede immediatamente che   è non decrescente,   è non crescente, e nondimeno   per ogni   (quindi per il teorema delle successioni monotone   e   esistono finiti).

Si nota poi che  , e di conseguenza  .

Quindi  , cioè  .

Possiamo allora applicare il teorema dei carabinieri e concludere che:  .

Sia allora   tale limite comune. La continuità della funzione   ci assicura che  .

Nondimeno il fatto che   sia chiuso assicura che  .

D'altra parte, per costruzione induttiva si ha che  .

Quindi possiamo applicare il teorema di conservazione delle disuguaglianze ed affermare:  

Quindi  , di conseguenza  .

Siccome poi   e   non sono zeri di  , deve essere che  , come volevamo.

Ovviamente il teorema vale anche nell'ipotesi che  , basta applicare il procedimento visto a  , sicuri del fatto che gli zeri di   sono tutti e soli quelli di  .

OsservazioniModifica

  • Nel caso ci si trovi in presenza di una funzione strettamente monotona, il teorema dice che lo zero è unico; se non si fa tale ipotesi gli zeri possono essere più di uno.
  • Il teorema assicura l'esistenza dello zero, quindi è solo una condizione sufficiente ma non necessaria. Basti pensare alla funzione  , che non assume valori discordi in   ma comunque ha uno zero in  
  • Il teorema vale in ipotesi molto più generali sull'insieme di definizione di  : basta che esso sia uno spazio topologico connesso.

NoteModifica

  1. ^ P. M. Soardi, p. 185.

BibliografiaModifica

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