Teorema di Cayley

Il teorema di Cayley, dal nome del matematico britannico Arthur Cayley, è un teorema riguardante la teoria dei gruppi.

Il teorema asserisce che ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo simmetrico. In altre parole, ogni gruppo può essere considerato come un particolare gruppo di permutazioni.

EnunciatoModifica

Sia   un gruppo di cardinalità arbitraria (non necessariamente finita). Sia   il gruppo simmetrico di   (vale a dire il gruppo delle permutazioni dell'insieme  ). Il teorema di Cayley asserisce il fatto seguente:

Il gruppo   è isomorfo ad un sottogruppo di  .

In particolare, ogni gruppo finito   è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo simmetrico finito.

Il gruppo simmetrico su n oggetti contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Costruzione dell'isomorfismoModifica

Un isomorfismo può essere costruito come segue.

  tale che  

cioè si moltiplica a sinistra per l'elemento   di  . L'applicazione   è una permutazione sugli elementi di   e dunque risulta in  . Per concludere basta definire l'applicazione:

 

che associa ad ogni elemento   di   la corrispondente permutazione  .

È semplice mostrare come questa applicazione realizzi effettivamente un omomorfismo (risulta cruciale, per la dimostrazione, la proprietà associativa dell'operazione definita su  )

Questo omomorfismo, inoltre, risulta essere iniettivo, e quindi   è isomorfo alla sua immagine  .

OsservazioneModifica

In generale, la dimostrazione standard del teorema di Cayley non produce la rappresentazione di   in un gruppo di permutazioni di ordine minimale.

Semplici esempi di questo si vedono prendendo   coincidente proprio con un gruppo di permutazioni.

Ad esempio, si prenda  , cioè uguale al gruppo simmetrico su 3 oggetti (che ha ordine 3!=6). Utilizzando il procedimento dimostrativo del teorema si riesce a rappresentarlo come sottogruppo di   (un gruppo il cui ordine è pari a ben 6!=720).

Tuttavia, siccome   è già di per sé un gruppo di permutazioni, una sua rappresentazione è quella su   stesso, che, come già detto, ha solo ordine 6[1]

EsempiModifica

La costruzione appena descritta può essere concretamente visualizzata su alcuni gruppi noti. Qui   è il gruppo delle permutazioni dell'insieme   e ogni permutazione è descritta come prodotto di cicli.

  • Il gruppo ciclico   è identificato ad un sottogruppo di  : l'elemento 0 corrisponde all'identità e l'elemento 1 alla permutazione (01).
  •   è identificato ad un sottogruppo di  : l'elemento 0 corrisponde all'identità, l'elemento 1 alla permutazione (123) e l'elemento 2 alla permutazione (132). L'uguaglianza 1 + 1 = 2 corrisponde a (123)(123)=(132).
  •   è identificato ad un sottogruppo di  : gli elementi corrispondono a  , (1234), (13)(24), (1432).

ApplicazioniModifica

Il teorema trova numerose applicazioni sia dal punto di vista pratico che teorico. Nella teoria dei grafi permette ad esempio di derivare numerose proprietà strutturali di grafi ed alberi.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Peter J. Cameron, Introduction to Algebra, Second Edition, Oxford University Press, 2008, p. 134, ISBN 978–0–19–852793–0.

BibliografiaModifica

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