Apri il menu principale

Associatività

(Reindirizzamento da Proprietà associativa)
Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando l'associatività nell'architettura a memoria cache per le CPU, vedi CPU cache.

In matematica, l'associatività (o proprietà associativa) è una proprietà che può avere un'operazione binaria. Significa che l'ordine di valutazione è irrilevante se l'operazione appare più di una volta in una espressione. Detta in altro modo, non sono richieste parentesi per un'operazione associativa. Si consideri ad esempio l'uguaglianza

(5+2)+1 = 5+(2+1)

Sommando 5 e 2 si ottiene 7, e sommando 1 si ottiene il risultato 8 per il membro a sinistra. Per valutare il membro a destra, si inizia a sommare 2 e 1 ottenendo 3, e quindi si somma 3 e 5 per ottenere 8 ancora. Quindi l'uguaglianza è verificata. Di fatto è verificata per tutti i numeri reali, non solo per 5, 2, e 1. Diciamo che "l'addizione nell'insieme dei numeri reali è un'operazione associativa".

Le operazioni associative sono frequenti in matematica, e infatti molte strutture algebriche richiedono esplicitamente che le loro operazioni binarie siano associative. Tuttavia, molte operazioni importanti non sono associative; un esempio comune è il prodotto vettoriale.

DefinizioneModifica

Formalmente, un'operazione binaria   su un insieme S è detta associativa se soddisfa la legge associativa:

 

L'ordine di valutazione non influisce sul valore di tale espressione, e si dimostra che lo stesso vale per le espressioni che contengono un numero arbitrario di operazioni . Quindi, quando   è associativa, l'ordine di valutazione può essere lasciato non specificato senza causare ambiguità, omettendo le parentesi e scrivendo semplicemente:

 

EsempiModifica

Seguono alcuni esempi di operazioni associative.

 
  • L'addizione e la moltiplicazione dei numeri complessi e dei quaternioni sono associative. La somma degli ottetti è ancora associativa, ma la moltiplicazione degli ottetti non è associativa.

 

 
  • Se M è un dato insieme e S indica l'insieme di tutte le funzioni da M a M, allora l'operazione di composizione di funzioni su S è associativa:
 
  • Leggermente più in generale, dati quattro insiemi M, N, P e Q, con f: M a N, g: N a P, e h: P a Q, allora
 
come prima. In breve, la composizione di mappe è sempre associativa.
  • Una matrice rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto a basi fissate, e il prodotto di matrici corrisponde alla composizione delle trasformazioni lineari corrispondenti. Dunque dall'associatività della composizione di funzioni segue l'associatività del prodotto di matrici.

Non associativitàModifica

Un'operazione binaria   su un insieme S che non soddisfa la legge associativa è detta non associativa. In simboli,

 

Per tale operazione l'ordine di valutazione è importante. La sottrazione, la divisione e l'esponenziazione sono esempi ben noti di operazioni non associative:

 

In generale, le parentesi devono essere usate per indicare l'ordine di valutazione, se un'operazione non associativa appare più di una volta in un'espressione. Tuttavia i matematici si accordano su un particolare ordine di valutazione per molte operazioni non associative comuni. Questa è una convenzione, e non una verità matematica.

Una operazione associativa a sinistra è un'operazione non associativa che viene valutata convenzionalmente da sinistra a destra, cioè,

 

mentre un'operazione associativa a destra è valutata convenzionalmente da destra a sinistra:

 

Esistono sia operazioni associative a sinistra che operazioni associative a destra; sotto sono dati alcuni esempi.

Altri esempiModifica

Le operazioni associative a sinistra includono:

  • Sottrazione e divisione di numeri reali:
 
 

Le operazioni associative a destra includono le seguenti:

 
La ragione per cui l'esponenziazione è associativa a destra è che un'esponenziazione associativa a sinistra ripetuta sarebbe meno pratica: ad esempio, la funzione  senza parentesi verrebbe identificata con  . Le ripetizioni multiple possono (e, per chiarezza, vengono) riscritte con il simbolo di moltiplicazione:
 
x = y = z;  significa  x = (y = z);  e non  (x = y) = z;
In altre parole, l'istruzione assegna il valore di z sia a y che a x.

Operazioni non associative per cui non è stato definito nessun ordine convenzionale di valutazione includono le seguenti:

  • Prendere la media di numeri reali:
 
 

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica