Teorema di Morera

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera.

EnunciatoModifica

Se   è una funzione continua in un dominio   aperto e se:

 

per ogni curva rettificabile chiusa   tutta contenuta in  , allora la funzione   è olomorfa in  .

Se si parametrizza   con la funzione   si può scrivere:

 

con   la derivata di  . Si tratta dell'integrazione di una 1-forma, e il teorema si può generalizzare al caso n-dimensionale.

L'inverso del teorema non vale, a meno che non si compiano ulteriori assunzioni. Ad esempio, richiedendo che   sia semplicemente connesso si ottiene il Teorema integrale di Cauchy, che afferma che per ogni curva chiusa e regolare a tratti contenuta in   l'integrale di linea di una funzione olomorfa lungo tale curva è nullo.

DimostrazioneModifica

È sufficiente dimostrare che se l'integrale di   è nullo su qualsiasi curva   allora   ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione   tale che:

 

Infatti se tale   esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto   è analitica.

Per dimostrare l'esistenza della primitiva si fissa all'interno della curva   un triangolo   con  . Per ipotesi si può quindi scrivere:

 

da cui, utilizzando il teorema della media, si ottiene:

 

dove   è un punto del segmento  . Passando al limite per   (e quindi  ) si ottiene:

 

pertanto la funzione:

 

è una primitiva di  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 373-374, 1985.
  • (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 26, 1999.
  • (EN) J.B. Conway, Functions of one complex variable , Springer (1973)
  • (EN) R. Remmert, Funktionentheorie , 1 , Springer (1984)

Voci correlateModifica

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