In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).

In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà è una funzione liscia definita dallo spazio totale del fibrato tangente di a la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:

dove è lineare.

Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:

dove sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.

Differenziale di una funzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Differenziale (matematica).

Sia   un insieme aperto, ad esempio un intervallo  , e si consideri una funzione differenziabile  , con derivata  . Il differenziale   di  , nel punto  , è definito come una trasformazione lineare della variabile   data da:

 

Il simbolo   è quindi un argomento (variabile indipendente) della funzione  . La mappa   associa quindi ogni punto al funzionale lineare  . Si tratta del più semplice esempio di 1-forma differenziale.

BibliografiaModifica

  • (EN) J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, p. 57, ISBN 0-7167-0344-0.
  • (EN) I.R. Shafarevich, Basic algebraic geometry , Springer (1977)
  • (EN) M. Baldassarri, Algebraic varieties , Springer (1956)
  • (EN) R. Hartshorne, Algebraic geometry , Springer (1977)

Voci correlateModifica

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