Utente:Aldoaldoz/sandbox

Euclides Danicus
Autore	Georg Mohr
1ª ed. originale	1672
Genere	trattato
Lingua originale	danese

Euclides Danicus (l'Euclide Danese) è un’opera di Georg Mohr, pubblicata in danese a Copenhagen nel 1672 e, nello stesso anno, in olandese ad Amsterdam. Come dichiarato dall'autore nel frontespizio, il trattato è suddiviso in due parti:

« La prima parte: Risultati geometrici derivati dai primi libri di Euclide

   La seconda parte: Metodi di disegno, come l’intersezione, le tangenti, la divisione, la prospettiva e le meridiane

   Tutto usando un compasso (senza l’uso di una riga), tagliando cerchi »

La scelta di Mohr di escludere l'uso della riga nelle costruzioni geometriche per utilizzare il solo compasso ha dato luogo alla dimostrazione del teorema di Mohr-Mascheroni, per cui:

« Ogni problema risolvibile con riga e compasso è risolvibile anche con il solo compasso »

Il teorema prende il nome anche da Lorenzo Mascheroni, che lo dimostrò nell'opera La geometria del compasso del 1797, pubblicata quindi 125 anni dopo quella del Mohr. La doppia attribuzione è dovuta al fatto che ai tempi di Mascheroni l'opera di Mohr era totalmente sconosciuta; inoltre, la notevole diversità fra le costruzioni utilizzate dai due autori esclude qualsiasi ipotesi di plagio da parte del Mascheroni.

Eliminazione della riga

La geometria classica prevede l'uso della riga e del compasso per tracciare rispettivamente linee rette e circonferenze. L'intersezione fra linee già disegnate definisce punti che possono essere utilizzati per tracciare nuove rette e circonferenze, fino al completamento delle costruzioni volute. Ogni costruzione geometrica può quindi essere intesa come composizione delle seguenti operazioni:

• determinazione dei punti necessari alla costruzione, secondo tre modalità:
  • intersezione fra due circonferenze,
  • intersezione fra una circonferenza e una retta,
  • intersezione fra due rette;
• disegno delle linee che la descrivono:
  • linea retta (segmento) compresa fra due punti ,
  • estensione di una linea retta otre i punti estremi che la definiscono ,
  • disegno di un cerchio o di un arco dati il centro e un punto sulla circonferenza .

La scelta di non utilizzare la riga comporta l'impossibilità di disegnare linee rette; tuttavia, se si esclude l'aspetto grafico (il semplice disegno delle linee), le altre operazioni che coinvolgono la riga, specificatamente nella determinazione dei punti necessari al completamento delle costruzioni, possono essere sostituite da procedimenti che richiedono l'uso del solo compasso.

Nell'Euclides Danicus per ovvi motivi viene fatto ampio uso dell'intersezione fra circonferenze. I metodi per determinare gli altri tipi di intersezione sono invece sparsi fra le varie proposizioni, per cui nei paragrafi che seguono ne viene anticipata un'esposizione di massima; le costruzioni complete in cui essi compaiono, assieme a tutti i relativi dettagli, vengono rimandate ai capitoli successivi.

Intersezione fra un cerchio e una retta non passante per il suo centro

Fig. 1: Intersezioni fra un cerchio e una retta non passante per il suo centro

Nell'Euclides Danicus Mohr non risolve il problema generale di determinare i punti di intersezione fra un cerchio e una retta, definita da due punti che le appartengono; si occupa piuttosto di determinare il secondo punto di intersezione, dato il primo e un altro punto appartenente alla retta. Lo fa in due occasioni, utilizzando metodi diversi (vedi figura 1, in cui A è il centro del cerchio, B e C sono i punti che definiscono la retta, del quali B giace sulla circonferenza):

1. proiettare del centro A sulla retta definita dai punti B e C in modo da determinare il punto V, poi raddoppiare in linea retta del segmento BV in modo da determinare D;
2. determinare il punto H, simmetrico di A rispetto alla retta BC, poi il punto D come intersezione del cerchio dato con l'arco BD centrato in H e di raggio pari a quello del cerchio originale (HB = BA).

Il secondo metodo, fra i due proposti da Mohr, è efficace anche nel caso in cui nessuno dei due punti che definiscono la retta appartenga alla circonferenza data: il punto H, simmetrico di A, può infatti essere determinato allo stesso modo, e l'intersezione fra il cerchio dato e l'arco di pari raggio centrato in H determinerà insieme entrambi i punti di intersezione.

È interessante notare come il primo dei due metodi descritti da Mohr sia ridondante: infatti per determinare il punto V, proiezione di A su BC (vedi XXX), occorre trovare il punto H simmetrico di A rispetto a BC, poi tracciare l'arco BD trovando D (che è già il punto cercato!), infine dividere per metà il segmento BD per trovare V. Il primo metodo comprende quindi tutti i passaggi descritti nel secondo, con l'aggiunta della bisezione del segmento BD e il successivo raddoppio del segmento BV.

Intersezione fra un cerchio e una retta passante per il suo centro

Fig. 2: Intersezioni fra un cerchio e una retta passante per il suo centro

Il metodo descritto al paragrafo precedente per trovare le intersezioni fra una retta e una circonferenza (vedi figura 1) non è valido se la retta passa per il centro del cerchio, in quanto è impossibile determinare il punto H simmetrico del centro A rispetto alla retta data BC.

In figura 2 sono mostrati il cerchio di centro A e raggio AC, e la retta identificata dai punti A e B: si vogliono dunque determinare i punti D ed E. Mohr suddivide questo problema in due fasi:

• determinare il punto C sulla circonferenza, tale che l'angolo CÂB sia retto;
• determinare i vertici D ed E adiacenti a C, del quadrato inscritto nel cerchio dato.

Intersezione fra due rette

Fig. 3: Intersezione fra due rette

La determinazione del punto di intersezione fra due rette (vedi figura 3) compare all'interno della proposizione dell'Euclides Danicus in cui viene cercata la circonferenza tangente ad una retta data (definita dai punti C e D che le appartengono) e passante per due punti A e B esterni alla retta. La parte iniziale di questa costruzione prevede di:

• proiettare il punto B su CD in modo da determinare E;
• proiettare il punto A su BE in modo da determinare F;
• trovare il quarto proporzionale: ${\overline {BF}}:{\overline {FA}}={\overline {BE}}:X$
• determinare il punto G, appartenente alla retta CD, distante da E quanto la lunghezza X trovata al punto precedente: è proprio G il punto cercato, di intersezione fra le rette AB e CD.

Uso del compasso

Il compasso di Euclide

Fig. 4: Applicazione della lunghezza AB al punto C

Nei suoi Elementi, Euclide non parla mai né di riga né di compasso. Egli si riferisce solo a linee rette e circonferenze ideali, che traccia secondo i seguenti postulati:

1. È possibile tracciare un segmento rettilineo fra qualunque coppia di punti
2. Un segmento rettilineo può essere esteso indefinitamente in una linea retta
3. È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e qualsiasi raggio

Nella pratica è cosa ovvia associare una riga (non graduata) ai primi due postulati, e il compasso al terzo. Bisogna fare attenzione però al fatto che non tutto ciò che può essere fatto con un compasso è "autorizzato" dal terzo postulato. Secondo quest’ultimo, il compasso dovrebbe essere utilizzato solo per tracciare un cerchio dati il centro e un punto sulla sua circonferenza; non dovrebbe invece essere utilizzato per trasportare una distanza da una parte all'altra del piano, semplicemente aprendolo e spostandolo conservandone l'apertura.

Negli Elementi di Euclide il trasporto delle distanze è una necessità irrinunciabile, infatti a questo problema sono dedicate le prime due Proposizioni del Libro I (vedi l’animazione in figura 4). Euclide dimostra cioè che si può applicare la distanza AB al punto C:

• congiungendo punti dati con segmenti rettilinei (primo postulato, linee di colore blu);
• prolungando gli stessi segmenti (secondo postulato, linee di colore ciano);
• tracciando archi di cerchio dati il centro e un punto della circonferenza (terzo postulato, linee di colore verde).

Alla fine dell'animazione, tutti i punti appartenenti alla circonferenza rossa disteranno da C quanto B dista da A.

L'uso comune, di trasportare distanze mantenendo invariata l'apertura del compasso a cavallo di un suo spostamento, è quindi una scorciatoia ammessa in geometria, ma solo perché si sa che tale procedimento è la semplificazione di un metodo più rigoroso: proprio quello descritto da Euclide.

Il compasso di Mohr

Nonostante nell'Euclides Danicus Mohr faccia un continuo riferimento agli Elementi di Euclide, egli non si pone il problema di trasportare le distanze: semplicemente utilizza un compasso non collassabile, tale cioè da conservare l'apertura durante il suo spostamento. A differenza di Euclide che, come già detto, non nomina mai il compasso, Mohr lo cita già in apertura della sua opera (vedi la citazione all'inizio di questa pagina); quindi una volta ammesso l'uso di questo strumento meccanico, lo usa liberamente per tutte le operazioni che è in grado di fare.

È interessante a questo proposito segnalare che un altro lavoro del Mohr, il Compendium Euclidis Curiosi, è dedicato ad un modo alternativo di ricreare le proposizioni di Euclide: in quest'opera viene ripreso l'uso della riga, accompagnato però da un unico compasso ad apertura fissa.

Libro primo: risultati geometrici derivati dai primi libri degli Elementi di Euclide

Nel libro primo dell'Euclides Danicus vengono ricreate molte costruzioni tratte dai primi 6 libri degli Elementi di Euclide con lo scopo di eliminare l'uso della riga. Mohr è costretto a seguire un ordine diverso da Euclide per vari motivi, come ad esempio:

• la costruzione dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza, che negli Elementi compare solo nel libro IV, viene inserita da Mohr proprio all'inizio della sua opera: questa costruzione serve infatti anche per la duplicazione del segmento in linea retta, utilizzata spesso nelle proposizioni successive;
• la costruzione del quadrato inscritto nella circonferenza, anch'essa presente nel libro IV degli Elementi di Euclide, viene anch'essa inserita all'inizio poiché, come già accennato in precedenza, fra le altre cose serve a Mohr per determinare le intersezioni fra una circonferenza e una retta passante per il suo centro.

Nei prossimi paragrafi viene presentata una scelta di proposizioni presenti nel primo libro dell'Euclides Danicus, facendo riferimento a quelle corrispondenti negli Elementi di Euclide e fornendo le relative dimostrazioni (non presenti nel testo originale, che si limita a fornire i metodi di costruzione).

Triangolo equilatero, esagono regolare e duplicazione del segmento

Fig. 5: Triangolo equilatero, dell'Esagono regolare, duplicazione del segmento

Nella figura 5 sono condensate varie proposizioni presenti nel'Euclides Danicus. La prima coincide con la prima del Libro I degli Elementi di Euclide: la costruzione di un triangolo equilatero sul segmento AB, per cui è sufficiente tracciare due archi di raggio AB e centri in A e B; la loro intersezione in C determina il terzo vertice del triangolo.

La proposizione 2 descrive il metodo per inscrivere un Esagono regolare in un cerchio dato, definito dal suo raggio AB. Secondo Euclide bisognerebbe:

• tracciare l'arco CAG con centro in B e raggio BA, che interseca la circonferenza nei punti C ed G (questi punti, assieme ad B, sono i primi tre vertici dell'esagono);
• prolungare i segmenti BA, CA e GA fino ad incontrare la circonferenza rispettivamente in F, E, D: sono BDDEFG i vertici dell'esagono regolare inscritto nella circonferenza.

Mohr non può fare uso della riga, quindi descrive un metodo alternativo:

• tracciare l'arco CAG con centro in B e raggio BA, come indicato da Euclide;
• tracciare altri tre archi di raggio BA: il primo con centro in C e tale da intersecare la circonferenza in D; il secondo con centro in D per determinare E; il terzo in E per determinare F.

Quest'ultima costruzione ne implica altre due:

• La proposizione 3, che descrive il metodo per inscrivere un triangolo equilatero in una circonferenza (è sufficiente considerare i punti B, D, F oppure C, E, G);
• La proposizione 4, che descrive il metodo per duplicare la lunghezza del segmento BA (il risultato è determinato dal segmento i cui estremi sono i punti B ed E).

Quadrato e dodecagono regolare

Fig. 6: Quadrato e dodecagono regolare inscritti in un cerchio

Fig. 7: Quadrato costruito su un segmento e circoscritto ad un cerchio

Per costruire il quadrato inscritto in un un cerchio dato, Euclide suggerisce semplicemente di tracciare due diametri ortogonali. Questo sistema viene modificato da Mohr nella proposizione 11 (vedi figura 6) come segue:

• determinare i punti B, C, D ed E come descritto al paragrafo precedente: B ed E sono i due primi vertici del quadrato;
• con raggio BD e centro in B ed E tracciare i due archi DH e CH che si intersecano in H (il segmento BD, essendo il lato del triangolo equilatero inscritto nel cerchio, è lungo ${\sqrt {3}}$ volte il raggio della circonferenza);
• con raggio AH e centro in B tracciare un arco che interseca la circonferenza data nei punti I e J: i punti BIEJ sono i vertici del quadrato inscritto nella circonferenza data.

Infatti:

• per costruzione, il triangolo EHB è isoscele, e il segmento HA ne è la mediana relativa alla base; ma in un triangolo isoscele, la mediana e l'altezza relative alla base coincidono, quindi l'angolo HÂB è retto, e il triangolo HÂB è rettangolo in A;
• ammettendo, senza perdita di generalità, che il raggio del cerchio sia unitario, si può applicare il teorema di Pitagora all'ipotenusa BH e al cateto AB, ricavando la lunghezza del secondo cateto:

${\overline {HA}}={\sqrt {{\overline {BH}}\,^{2}-{\overline {AB}}\,^{2}}}={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$

• il segmento AH è quindi lungo ${\sqrt {2}}$ volte il raggio del cerchio, proprio la lunghezza del lato del quadrato che si vuole inscrivere nella circonferenza. La determinazione dei due punti mancanti del quadrato richiede quindi solo di riportare tale lunghezza sulla circonferenza, a partire da B (oppure da E).

La proposizione 12 dell'Euclides Danicus descrive il metodo per inscrivere un dodecagono regolare: il suo lato è implicitamente definito nella costruzione appena descritto, infatti coincide con i segmenti IC oppure ID.

Le proposizioni 13 e 14 descrivono i metodi per costruire un quadrato su un segmento, oppure circoscritto ad un cerchio dati (vedi figura 7). Una volta trovati i vertici BIEJ del quadrato, si possono determinare i punti KLMN tracciando coppie di archi di raggio AB centrati negli stessi vertici BIEJ. Sono quindi ABKI i vertici del quadrato costruito sul segmento AB, e KLMN i vertici del quadrato circoscritto al cerchio di raggio AB.

Bisezione di un segmento

Fig. 8: Bisezione di un segmento, prima parte

Fig. 9: Bisezione di un segmento, seconda parte

Potendo utilizzare la riga, esistono molti modi per bisecare un segmento. Euclide costruisce un triangolo equilatero sul segmento dato e biseca l'angolo al vertice: l'intersezione fra la bisettrice e il segmento dato determina il punto mediano del segmento dato. Un'alternativa ancora più semplice consiste nel costruire due triangoli equilateri ai lati del segmento dato e unire i vertici ottenuti con un segmento: anche in questo caso l'intersezione fra quest'ultimo segmento e quello dato fornisce il punto di bisezione cercato. Viceversa, l'impossibilità di utilizzare la riga rende molto più complessa la bisezione del segmento, anche perché si deve tenere presente che del segmento dato sono noti solo gli estremi, ma esso stesso non è tracciato.

Nella proposizione 15 dell'Euclides Danicus, Mohr propone due metodi per bisecare un segmento, che hanno complessità equivalente. Quella che segue è l'illustrazione del secondo, che è scelto per una certa somiglianza col metodo adottato da Mascheroni ne La geometria del compasso. Dato dunque il segmento da bisecare, di cui si conoscono gli estremi AB, occorre (vedi figura 8):

• con raggio AB e con centri in A e B, tracciare gli archi DCE e CAD (i punti C e D serviranno in seguito);
• determinare il punto E come raddoppio del segmento BA (tracciare altri due archi di raggio AB sull'arco DCE, a partire dal punto C);
• con centro in B e raggio BE tracciare l'arco EFP (in realtà è sufficiente tracciare l'arco EF - nel disegno l'arco è prolungato fino a P per semplificare la comprensione della dimostrazione che segue);
• con centro in E e raggio AE = AB tracciare l'arco AF;
• riportare la lunghezza AF sull'arco CAD, a partire dal punto E, determinando il punto L;
• il segmento AL è metà del segmento AB: l'arco LM è quindi il luogo dei punti distanti da A quanto metà del segmento AB dato.

Si ammetta infatti di avere tracciato il punto P (non necessario nella costruzione fin qui descritta) in modo che il segmento PE sia il diametro della circonferenza centrata in B, di raggio BE doppio rispetto a BA: la distanza PE è quindi quadrupla di BA. Si ammetta anche di avere tracciato il punto X, proiezione di F sul segmento BE (neanche questo è necessario alla costruzione). Si può verificare che:

• i triangoli PFE (rettangolo in F poiché è inscritto in una semicirconferenza) e FXE (rettangolo in X per costruzione) sono simili in quanto, oltre appunto ad essere rettangoli, hanno in comune l'angolo in E;
• per costruzione, FE è uguale a BA, e PE è quattro volte OA; quindi FE : PE = 1 : 4;
• la stessa proporzione 1 : 4 si presenta fra i segmenti XE e FE = BA, quindi XE è la quarta parte del segmento dato BA;
• i triangoli PFE e QLA sono simili, in quanto entrambi rettangoli (rispettivamente in F e in L), PE è doppio di QA e FE è doppio di LA;
• il segmento AY è quindi metà di XE, ovvero un ottavo di AB;
• per giustificare la costruzione di Mohr, occorre dimostrare che i segmenti AF ed LE sono congruenti. Si ammetta, senza perdita di generalità, che la lunghezza del segmento AB sia unitaria:

${\overline {FX}}={\sqrt {{\overline {FE}}\,^{2}-{\overline {XE}}\,^{2}}}={\sqrt {1^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}={\sqrt {1-{\frac {1}{16}}}}={\frac {\sqrt {15}}{4}}$

${\overline {LY}}={\frac {\overline {FX}}{2}}={\frac {\sqrt {15}}{8}}$

${\overline {AF}}={\sqrt {{\overline {AX}}\,^{2}+{\overline {XF}}\,^{2}}}={\sqrt {\left(1-{\frac {1}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {15}}{4}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {9}{16}}+{\frac {15}{16}}}}={\sqrt {\frac {24}{16}}}={\frac {\sqrt {6}}{2}}$

${\overline {LE}}={\sqrt {{\overline {LY}}\,^{2}+{\overline {YE}}\,^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {\sqrt {15}}{8}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {1}{8}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {15}{64}}+{\frac {81}{64}}}}={\sqrt {\frac {96}{64}}}={\frac {\sqrt {6}}{2}}$

È quindi dimostrato che, con la costruzione fin qui descritta, è stato trovato il luogo dei punti distanti da A quanto metà della lunghezza del segmento AB. Questo arco però non è sufficiente a determinare il punto M, in quanto il segmento AB non è disegnato. Occorre dunque ripetere l'intera costruzione per bisecare il segmento CD. In figura 9 si può vedere la costruzione complessiva:

• le linee verdi servono per determinare il punto L, per cui il segmento AL è metà di AB;
• le linee rosse servono per determinare il punto K, per cui il segmento DK è metà di DC;
• l'intersezione dei due archi blu, centrati in A e D e di raggio rispettivamente AL e DK, determina il punto M, mediano del segmento AB.

Proiezione di un punto su un segmento

Fig. 10: proiettare un punto su un segmento

La costruzione di Euclide per proiettare il punto A sul segmento BC è la seguente (vedi figura 10):

• tracciare un arco con centro in A e raggio arbitrario, che tagli il segmento BC in due punti (in figura il raggio scelto è AB, che interseca il segmento nel punto E);
• determinare il punto F intermedio fra B ed E: la congiungente fra A ed F è perpendicolare ad BC.

Questo sistema non può essere adottato da Mohr, in quanto del segmento BC sono noti solo gli estremi. Nella proposizione 19 egli suggerisce infatti di:

• tracciare due archi, il primo con centro in B e raggio BA, il secondo con centro in C e raggio CA: essi si intersecano nel punto D;
• con centri in A e D tracciare due archi di raggio AB = DB, la cui intersezione determina il punto E;
• bisecare il segmento BE in F con metodo descritto in precedenza.

Mohr segue fedelmente la costruzione di Euclide, ma di fatto, per determinare il punto F, basterebbe bisecare il segmento AD (risparmiando il disegno dei due archi che servono a determinare il punto E).

Applicare una distanza ad un segmento

Fig. 11: applicare una distanza ad un segmento

Nella geometria della riga e del compasso l'applicazione di una distanza ad un segmento consiste semplicemente nel tracciare una circonferenza centrata sull'estremità desiderata del segmento, e con raggio pari alla distanza data: l'intersezione fra la circonferenza e il segmento (che potrebbe eventualmente richiedere di essere allungato) definisce il punto cercato. Viceversa, in assenza della riga il segmento a cui applicare la distanza non è disegnato, quindi la circonferenza tracciata non è sufficiente a determinare il punto desiderato.

Sia dato (vedi figura 11) il segmento definito dai punti A e B, all'estremità A del quale si vuole applicare la distanza AC. Per fare questo occorre evidentemente tracciare la circonferenza di raggio AC per poi determinare il punto M (oppure N) che, appartenendo alla circonferenza, sia in linea con i punti A e B. Mohr non svolge questo compito direttamente: egli parte da una costruzione preliminare, descritta nella proposizione 21, in cui trova il punto K sulla circonferenza per cui l'angolo KÂB è retto. Ecco i passaggi richiesti:

• bisecare il segmento AB in G;
• sul cerchio di centro G e raggio GA costruire il quadrato inscritto, di cui B L A sono vertici consecutivi;
• tracciare la semicirconferenza di centro L e raggio LB: il segmento AD ne sarà il diametro;
• riportare la distanza BC a partire da D, in modo da determinare il punto F sulla semicirconferenza di cui al punto precedente;
• con centro in B e raggio BF tracciare l'arco FK che interseca la circonferenza di raggio AC in K: quest'ultimo è proprio il punto cercato (alla distanza AC da A, e tale per cui l'angolo KÂB è retto).

Occorre dunque dimostrare che il segmento BK è l'ipotenusa del triangolo rettangolo BAK:

${\overline {BC}}={\overline {FD}}={\sqrt {{\overline {AB}}\,^{2}-{\overline {AC}}\,^{2}}}$

${\overline {BD}}={\sqrt {2}}\,\cdot \,{\overline {BA}}$

${\overline {BF}}={\overline {BK}}={\sqrt {{\overline {BD}}\,^{2}-{\overline {FD}}\,^{2}}}={\sqrt {\left(2\,\cdot \,{\overline {BA}}\,^{2}\right)-\left({\overline {AB}}\,^{2}-{\overline {AC}}\,^{2}\right)}}={\sqrt {{\overline {AB}}\,^{2}+{\overline {AC}}\,^{2}}}$

Per sommare (o sottrarre) due segmenti BA e AC in linea retta, Mohr propone nella proposizione 22 (oppure 23) di trovare il punto K come qui sopra descritto; poi di inscrivere un quadrato nella circonferenza di centro B e raggio BK: sarà N (oppure M) il punto cercato.

Questo è un altro caso un cui Mohr ha omesso di semplificare le sue costruzioni: al posto di dimezzare il segmento AB per trovare G, avrebbe potuto raddoppiarlo (il raddoppio di un segmento è di gran lunga più semplice da fare rispetto alla sua bisezione). Ammettiamo di voler applicare la distanza AC al segmento AG: una volta trovato il punto B, la determinazione del punto K sarebbe proseguita esattamente come descritto sopra.

Determinare il segmento medio proporzionale

Fig. 12: determinazione del segmento medio proporzionale

Per trovare il medio proporzionale fra due segmenti dati DC e CB, nella proposizione 28 Mohr impiega lo stesso metodo di Euclide (vedi figura 12):

• porre in linea retta fra loro i segmenti DC e CB dati;
• trovare il punto F mediano del segmento DB;
• tracciare il semicerchio di centro F e raggio FD.

Rimane da determinare il punto H quale vertice del triangolo DHB (che è rettangolo in H in quanto inscritto in una semicirconferenza) la cui proiezione sull'ipotenusa DB cada proprio sul punto C di separazione fra i segmenti DC e CB dati. Mohr suggerisce di:

• duplicare la distanza FC in modo da determinare il punto E;
• tracciare l'arco di centro E e raggio FD in modo da determinare il punto H: il segmento HC è il medio proporzionale fra DC e CB.

Infatti per costruzione il triangolo FHE è isoscele, e il segmento HC ne è la mediana relativa alla base; ma in un triangolo isoscele, la mediana e l'altezza relative alla base coincidono, quindi l'angolo in C è retto. Poiché dunque HC è l'altezza del triangolo rettangolo DHB, tale altezza è media proporzionale fra BC e CD.

Determinare il segmento quarto proporzionale

Fig. 13: determinazione del segmento quarto proporzionale

Dati tre segmenti AB, AC e AD, trovare il quarto segmento AE proporzionale significa risolvere la proporzione per cui:

${\overline {AB}}:{\overline {AC}}={\overline {AD}}:{\overline {AE}}$

Euclide risolve questo problema utilizzando triangoli simili. La costruzione di Euclide richiede (vedi figura 13) di tracciare un primo triangolo in cui un vertice è compreso dai segmenti AB ed AC mentre il terzo lato ha lunghezza arbitraria; poi l'applicazione della distanza AD al segmento AB e il disegno di un segmento parallelo a BC e passante per D: l'intersezione fra quest'ultimo e AC determina il punto E, per cui DE è il quarto segmento proporzionale cercato.

Questo sistema richiede di determinare il punto di intersezione fra due segmenti, problema non ancora affrontato da Mohr. Nella proposizione 31 dell'Euclides Danicus egli modifica leggermente il metodo di Euclide, creando non triangoli qualsiasi (in cui il segmento BC ha lunghezza arbitraria) bensì triangoli rettangoli (vedi sempre figura 13):

• allineare i segmenti AB ed AD sulla stessa linea retta;
• bisecare il segmento AB in modo da ottenere il punto O;
• tracciare la semicirconferenza BCA;
• riportare sulla semicirconferenza la distanza AC a partire dal punto A;
• proiettare il punto D sul segmento AC in modo da determinare il punto E: è DE il segmento quarto proporzionale cercato.

Questo metodo richiede alcuni accorgimenti per superare alcune difficoltà che possono presentarsi:

• se il terzo segmento della proporzione è più lungo del primo (vedi in figura il segmento AF come alternativa ad AD), la proiezione di F su AC cade all'esterno del semicerchio tracciato;
• se il secondo segmento AC è più lungo del primo AB, prima di procedere con la costruzione descritta occorre raddoppiare, triplicare, quadruplicare... i segmenti AB ed AD.

Anche questa costruzione di Mohr, come altre viste in precedenza, si presta a una semplificazione: dato che trovare il punto mediano di un segmento è un'operazione complicata (in questo caso occorre bisecare AB), si potrebbe trovare il quarto proporzionale secondo la seguente proporzione:

${\overline {AB}}:2\cdot {\overline {AC}}=2\cdot {\overline {AD}}:{\overline {AE}}$

Infatti, la duplicazione di due segmenti (che peraltro potrebbe rendersi necessaria se AC è più lungo di AB) è molto più semplice di una bisezione; e, ovviamente, il punto mediano di un segmento raddoppiato coincide con l'estremo del segmento originale.

Bisezione di un arco

Fig. 14: bisezione di un arco

Euclide esegue la bisezione di un arco tracciando l'asse del segmento definito dai sui estremi, la cui intersezione con l'arco dato dà il punto cercato. Non potendo tale asse essere disegnato, il suo punto di intersezione con l'arco non è identificabile. Nella proposizione 32 Mohr propone quindi il seguente metodo (vedi figura 14):

• determinare il punto medio E del segmento BD;
• riportare la distanza AE sul segmento AD a partire da A;
• applicare la distanza GD perpendicolarmente al segmento DE, a partire dal punto E.

Trovare il centro di una circonferenza

Fig. 15: trovare il centro di una circonferenza

Per trovare il centro di una circonferenza, Euclide suggerisce di tracciare una corda qualsiasi, tracciarne l'asse e bisecare il segmento ottenuto dall'intersezione fra l'asse e la circonferenza.

Questo sistema non può essere utilizzato dal Mohr, in quanto, tutti i procedimenti visti finora, che riguardino l'intersezione fra un segmento e una circonferenza, richiedono la conoscenza del centro di quest'ultima. Nella proposizione 33 suggerisce quindi di (vedi figura 15):

• identificare tre punti qualunque A, B e C sulla circonferenza;
• proiettare B su AC in D (in figura sono tracciate, in verde, le linee necessarie al completamento di questo passaggio);
• trovare il quarto segmento proporzionale per cui $2\cdot {\overline {BD}}:BA=BC:BE$
• il segmento BE è il raggio del cerchio, quindi è sufficiente tracciare due archi con questo raggio a partire da due punti qualunque della circonferenza (in figura sono stati utilizzati B e C): la loro intersezione determina il punto E, centro del cerchio dato.

La cosa si dimostra facilmente. Si ammetta di conoscere già il centro E della circonferenza:

• l'angolo BEC al centro è doppio di BAC alla circonferenza, dato che entrambi sottendono l'arco BC;
• l'angolo BAF è doppio di BAC, quindi BAF è uguale a BEC;
• i triangoli BAF e BEC sono dunque simili, in quanto sono entrambi isosceli e hanno lo stesso angolo al vertice;
• di conseguenza vale proprio la proporzione indicata da Mohr.

Anche i questo caso il procedimento suggerito da Mohr può essere semplificato: non occorre infatti determinare il punto D, proiezione di B su AC, ma solo il punto F simmetrico di B rispetto ad AC.

Inscrivere un triangolo in un cerchio

Fig. 16: inscrivere un triangolo in una circonferenza

Per inscrivere il triangolo dato ABC nella cerchio di centro D e raggio DE, nella proposizione 36 dell'Euclides Danicus Mohr descrive due metodi distinti. Il primo prevede di trovare il circocentro del triangolo dato, poi applicare una distanza pari al raggio del cerchio dato ai segmenti che congiungono il circocentro del triangolo con ciascuno dei suoi vertici: i tre punti ottenuti sono i vertici del triangolo cercato.

Di seguito viene descritto il secondo metodo, per due motivi: esso ricalca fedelmente il metodo proposto da Euclide; inoltre introduce il metodo per determinare il secondo estremo di una corda di cui sia noto il primo estremo e un altro suo punto. Il metodo descritto da Mohr richiede alcuni passaggi preliminari sul triangolo dato (vedi figura 16):

• riportare la lunghezza del lato più corto del triangolo AB sul lato AC a partire da A in modo da determinare T;
• riportare la stessa distanza sui lati CA e CB, a partire da C, in modo da determinare rispettivamente i punti R ed S.

Con questi nuovi punti è più facile replicare il metodo proposto da Euclide:

• tracciare la semicirconferenza OVKP con centro in E e raggio AB, determinando nel contempo i punti O e P, disposti sulla retta perpendicolare al raggio DE e passante per E;
• determinare sulla stessa semicirconferenza il punto V, distante da O quanto la lunghezza del segmento RS: in questo modo l'angolo VEO risulta congruente con BCA;
• allo stesso modo determinare il punto K, distante da P quanto la lunghezza del segmento BT: sarà l'angolo KEP congruente con BAC.

Le coppie di punti EV ed EK determinano le rette su cui giacciono i primi due lati del triangolo inscritto: per completare il lavoro devono essere determinati i punti X e W di intersezione con la circonferenza data, la cui congiungente sarà il terzo lato del triangolo. Per fare questo Mohr suggerisce un metodo molto complicato:

• proiettare i punti V e K sul raggio DE, rispettivamente in G ed F;
• calcolare i quarti segmenti proporzionali, per cui ${\overline {EK}}:{\overline {EF}}={\overline {ED}}:{\overline {EQ}}$ e ${\overline {EV}}:{\overline {EG}}={\overline {ED}}:{\overline {EY}}$;
• applicare le distanze EQ ed EY rispettivamente sui segmenti EK ed EV;
• raddoppiare i segmenti EQ ed EY in modo da determinare i vertici del triangolo inscritto W ed X.

Metodo più semplice sarebbe stato:

• proiettare il centro D della circonferenza sui segmenti EV ed EK ottenendo direttamente i punti Y e Q;
• raddoppiare i segmenti EQ ed EY.

È interessante notare poi che la proiezione del punto D sui segmenti EV ed EK implica, come passaggio intermedio, la determinazione dei punti X e W; è quindi inutile completare tali proiezioni (per trovare Y e Q) a cui seguirà una nuova determinazione dei punto X e W per raddoppio dei relativi segmenti.

Pentagono e pentadecagono regolare

Fig. 17: dividere un segmento in estrema e media ragione

Fig. 18: inscrivere un pentagono in una circonferenza

Per inscrivere un pentagono regolare in una circonferenza Mohr segue fedelmente il metodo descritto negli Elementi di Euclide, che prevede i seguenti passaggi:

• dividere un segmento arbitrario in estrema e media ragione (determinarne la sezione aurea);
• disegnare un triangolo aureo, avente ciascuno dei due angoli alla base che sia il doppio dell'angolo rimanente (per farlo occorre proprio dividere un segmento in estrema e media ragione);
• inscrivere nella circonferenza data un triangolo aureo (ovvero simile a quello appena descritto): la sua base coincide con il lato del pentagono regolare inscritto.

Il primo passaggio richiede (vedi figura 17) di determinare la sezione aurea del segmento AC:

• costruire il quadrato ACDB;
• bisecare il segmento DC in modo da determinare il punto E;
• applicare la distanza EA al segmento EC trovando F;
• applicare la distanza CF al segmento AC in modo da determinare il punto G, che è il punto di divisione cercato per cui viene rispettata la proporzione ${\overline {CA}}:{\overline {CG}}={\overline {CG}}:{\overline {GA}}$.

La costruzione del triangolo aureo (vedi figura 18, in alto a sinistra) richiede di:

• tracciare un arco di centro A e raggio AB;
• dividere il segmento AB in estrema e media ragione nel punto C;
• riportare sull'arco la distanza BD = BA: è quindi ABD il triangolo cercato.

Il disegno del pentagono regolare nella circonferenza data richiede di:

• inscrivere nella circonferenza un triangolo aureo (simile a quello sopra determinato);
• riportare più volte la lunghezza il lato FG sulla circonferenza, in modo da determinare i vertici mancanti H, E ed I.

Per costruire il pentadecagono regolare Mohr suggerisce di inscrivere nello stesso cerchio, oltre al pentagono, anche un triangolo equilatero EJK con un vertice in comune (nel caso di figura 18 è il vertice E). Il lato del pentadecagono è dato dai segmenti JF oppure GK.

I passaggi necessari al disegno del pentagono regolare, secondo il metodo descritto da Mohr, sono davvero molti. Anche senza utilizzare metodi più semplici rispetto a quelli di Euclide, come quello di Tolomeo, alcuni dei passaggi possono essere semplificati:

• nel costruire il triangolo aureo (vedi figura 17) non occorre riportare CF su CG: è sufficiente disegnare i due lati uguali di lunghezza AC, quello corto di lunghezza CF;
• il metodo per inscrivere in una circonferenza il triangolo aureo, che è isoscele, può essere semplificato di molto rispetto al metodo descritto da Mohr per inscrivere un triangolo qualsiasi.

Altre costruzioni

Il primo libro dell'Euclides Danicus comprende altre proposizioni, alcune delle quali non si discostano in modo apprezzabile da quelle di Euclide e quindi, da quelle classiche), come il metodo per tracciare una retta passante da un punto e tangente ad un cerchio dato, o per tracciare un segmento passante per un punto e parallelo ad un altro segmento dato.

Le ultime proposizioni del primo libro riguardano la costruzione di figure piane simili a poligoni dati, e tali da avere un'area data. Tutte queste costruzioni sono riprese dal libro VI degli Elementi di Euclide, utilizzando i metodi di disegno già descritti.

Secondo libro: intersezioni, tangenti, divisioni, prospettiva e meridiane

Il secondo libro dell'Euclides Danicus comprende 24 proposizioni che riguardano vari argomenti, così come dichiarato da Mohr già nel frontespizio. Nessuna di queste replica qualcosa di presente negli Elementi di Euclide né, a parte i due casi particolari che vedremo subito, aggiunge metodi di disegno oltre a quelli già presenti nel libro primo. Tali proposizioni si possono raggruppare in cinque sezioni:

Bibliografia

• Georg Mohr, Euclides Danicus, 1672.
• Euclide, Gli elementi, Torino, UTET, 1996.

Voci correlate

• Lorenzo Mascheroni
• Jørgen Mohr
• Euclide
• Gli Elementi di Euclide
• Geometria
• Geometria euclidea
• Costruzioni con riga e compasso
• Riga
• Retta
• Compasso
• Cerchio
• Circonferenza

Collegamenti esterni

• Lorenzo Mascheroni, La geometria del compasso, pdf scaricabile
• Piergiorgio Odifreddi, Riga o compasso? su Le Scienze n. 521 (gennaio 2012), p. 18

Categoria:Geometria piana