Varietà simplettica

In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere , definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Una qualsiasi funzione differenziabile, H, a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.

DefinizioneModifica

Una forma simplettica su una varietà M è una 2-forma differenziale non degenere chiusa,  . La coppia (M, ) si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base Xi dello spazio tangente di M in un punto, la matrice

 

è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di   chiusa significa che

 

dove d è la derivata esterna.

Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti   è antisimmetrica, i.e.,  , per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).[1]

Sistema di coordinate canonicoModifica

Consideriamo una varietà simplettica   con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione   dove  .

DefinizioneModifica

Una carta   si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che

 

spesso per il sistema di coordinate canonico si usa la notazione classica ponendo   e   con   cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)

 .

Teorema di DarbouxModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Darboux (geometria).

Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.

Varietà simplettica lineareModifica

La varietà simplettica standard è R2n, siano     le coordinate cartesiane su  , con la forma simplettica data da

 

in forma matriciale

 

Questa particolare struttura simplettica è importante perché il Teorema di Darboux ci dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.[1]

Sottovarietà lagrangianeModifica

Data una varietà simplettica   di dimensione  , di particolare importanza sono le sottovarietà lagrangiane. Una sottovarietà lagrangiana è definita come una sottovarietà   di dimensione   tale che   è identicamente zero su ogni spazio tangente ad  . Vi sono numerosi esempi di sottovarietà lagrangiane, come la sezione zero del fibrato cotangente   di una varietà   e il grafico di un simplettomorfismo   inteso come una sottovarietà di   con un'adeguata forma simplettica. Tale ubiquità le rende uno dei principali oggetti di studio della geometria simplettica, al punto che un motto di Alan Weinstein è "qualsiasi cosa è una sottovarietà lagrangiana".[1]

Forma volume simpletticoModifica

Una varietà simplettica ( ,  ) possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.

DefinizioneModifica

Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da   la

 

Utilizzando un sistema di coordinate canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto

 .

ProprietàModifica

  1. Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche   porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di M.
  2. La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di M. Definita
 

dove   è un borelliano di M e si è usato il sistema di coordinate canonico.

Gradienti simpletticiModifica

Sia   una varietà simplettica e   una funzione scalare su M.

Chiamiamo gradiente simplettico di h il campo vettoriale X su M definito come l'unico campo vettoriale tale che

 

  è il differenziale di  .[1]

Sistema hamiltonianoModifica

Notiamo che

 

è biettiva per via della non degenerazione di   allora è possibile definire un'applicazione inversa

 

che prende il nome di tensore di Poisson tale che

 

dove  .

Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come   che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana  .

La terna   si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica   si definisce anche spazio delle fasi.

NoteModifica

  1. ^ a b c d McDuff, Dusa, 1945-, Introduction to symplectic topology, Third edition, ISBN 9780198794905, OCLC 957745627. URL consultato il 9 ottobre 2018.
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