Teorema di Darboux

Esso afferma che tutte le funzioni continue in un intervallo chiuso, presentano la proprietà del valore intermedio

Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.

È da notare che quando è differenziabile con derivata continua (cioè ) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.

Teorema di DarbouxModifica

Sia   una funzione continua a valori reali in  , che sia differenziabile in  . Allora   soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni   compreso tra   e  , esiste qualche   in   tale per cui  .

DimostrazioneModifica

Senza perdita di generalità si può supporre che  . Sia  , allora  , quindi sostituendo, si ha  , e si vuole trovare uno zero di  .

Siccome   è una funzione continua in  , per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in  , ma questo massimo non può trovarsi in  , poiché  , cioè   è localmente crescente in  , e in modo del tutto simile non può trovarsi in  , poiché  , cioè   è localmente decrescente in  . Pertanto il massimo deve stare in un punto   compreso in   tale che   per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.

Voci correlateModifica

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