Teorema di Darboux

Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.

È da notare che quando $f$ è differenziabile con derivata continua (cioè $f\in C^{1}([a,b])$ ) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando $f'$ non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.

Teorema di Darboux

Sia $f\colon \left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ una funzione continua a valori reali in $\left[a,b\right]$ , che sia differenziabile in $\left(a,b\right)$ . Allora $f'$ soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni $t$ compreso tra $f'\left(a\right)$ e $f'\left(b\right)$ , esiste qualche $x$ in $\left[a,b\right]$ tale per cui $f'\!\left(x\right)=t$ .

Dimostrazione

Senza perdita di generalità si può supporre che $f'_{+}(a)>t>f'_{-}(b)$ . Sia $g(x)=f(x)-tx$ , allora $g'(x)=f'(x)-t$ , quindi sostituendo, si ha $g'_{+}(a)>0>g'_{-}(b)$ , e si vuole trovare uno zero di $g'$ .

Siccome $g$ è una funzione continua in $[a,b]$ , per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in $[a,b]$ , ma questo massimo non può trovarsi in $a$ , poiché $g'_{+}(a)>0$ , quindi $g(x)>g(a)$ in un intorno destro di $a,$ e in modo del tutto simile non può trovarsi in $b$ , poiché $g'_{-}(b)<0$ , quindi $g(x)>g(b)$ in un intorno sinistro di $b$ . Pertanto il massimo deve stare in un punto $c$ compreso in $(a,b)$ tale che $g'(c)=0$ per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.