Omologia (topologia)

L'omologia, assieme all'omotopia, è un concetto fondamentale della topologia algebrica. È una procedura con cui viene assegnata a un certo oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo), una successione di gruppi abeliani, che forniscano in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione.

L'omologia è uno strumento matematico che "misura" la forma di un oggetto. Il risultato di questa misura è un oggetto algebrico, una successione di gruppi. Informalmente, questi gruppi codificano il numero ed il tipo di "buchi" presenti nell'oggetto.

In topologia, l'omologia di uno spazio topologico è un gruppo abeliano

che informalmente misura il numero di "buchi -dimensionali" dello spazio . Un concetto analogo è il gruppo fondamentale.

DescrizioneModifica

L'omologia di uno spazio topologico   è una successione di gruppi abeliani, che vengono indicati nel modo seguente:

 

Informalmente, il gruppo   descrive i "buchi  -dimensionali" di  . Esistono vari modi (essenzialmente equivalenti) di definire l'omologia: si parla quindi a seconda del caso di omologia singolare, omologia simpliciale, etc.

 
Una circonferenza ha un "buco" 1-dimensionale, quindi ha il primo gruppo di omologia uguale a  .
 
Una sfera ha un buco bidimensionale, quindi ha il secondo gruppo di omologia uguale a  .

Un esempio fondamentale è fornito dalla sfera  -dimensionale, indicata in matematica con il simbolo  . Tale "sfera" è in realtà una circonferenza in dimensione  , ed è l'ordinaria superficie sferica per  . Può essere descritta come il luogo dei punti dello spazio euclideo  -dimensionale   che soddisfa l'equazione seguente:

 

L'omologia della sfera   è la seguente:

 

I simboli   e   indicano rispettivamente il gruppo dei numeri interi ed il gruppo banale. L'omologia della sfera   è quindi banale per ogni  , tranne che per i valori 0 e  . La non-banalità per   è un fatto generale, valido per ogni spazio topologico. L'informazione per   registra invece l'esistenza di un "buco"  -dimensionale.

 
Un cerchio non ha buchi: tutti i suoi gruppi di omologia sono banali (tranne  ).

Questo buco  -dimensionale può essere "tappato" aggiungendo alla sfera la sua parte interna (ovvero la porzione di piano o spazio delimitata dalla sfera). La circonferenza diventa così un cerchio, e la sfera diventa una sfera solida, cioè una palla. In matematica, l'oggetto ottenuto tappando la sfera   è chiamato disco (o palla): è indicato con il simbolo   e può essere definito come il luogo dei punti che soddisfa la disequazione seguente:

 

L'omologia del disco risente del fatto che il buco è stato tappato:

 

Tutti i gruppi di omologia (tranne quello con  ) sono banali: informalmente, il disco non contiene buchi.

 
Il toro ha una omologia più complessa della sfera. Il gruppo   è infatti  .
 
Questa superficie con 3 buchi ha una omologia ancora più complessa di quella del toro. Il gruppo di omologia   è infatti  . Più in generale, il gruppo   di una superficie di questo tipo con   buchi è  .

Uno spazio topologico può avere più buchi di dimensioni diverse. Ad esempio il toro   ha tutti e tre i primi gruppi di omologia non banali:

 

L'omologia è quindi usata in prima istanza come strumento per distinguere oggetti topologici.

DefinizioneModifica

L'omologia di uno spazio topologico   è costruita tramite un procedimento algebrico abbastanza raffinato. Si costruisce a partire da   un complesso di catene  . Il complesso di catene è una successione di gruppi abeliani   e di omomorfismi   chiamati operatori di bordo. Tutti questi oggetti possono essere descritti da una catena di simboli nel modo seguente:

 

dove   indica il gruppo banale. Si richiede inoltre che la composizione di due operatori di bordo consecutivi sia nulla, cioè che per ogni   valga la relazione

 

Ciò è equivalente a chiedere che l'immagine di   sia contenuta nel nucleo di  :

 

Se immagine e nucleo coincidono per ogni   la sequenza si dice esatta. Generalmente però questo non accade; l'omologia "misura" proprio quanto la successione sia lontana dall'essere esatta.

Poiché ogni gruppo   è abeliano, le immagini sono tutte sottogruppi normali ed è quindi possibile definire l' -esimo gruppo di omologia come il gruppo quoziente

 

Viene spesso usata anche la notazione seguente

 
 

Gli elementi in   e   sono chiamati rispettivamente cicli e bordi. L'omologia è quindi

 

Il complesso di catene   può essere costruito in vari modi, ma l'omologia che ne risulta è generalmente equivalente. A seconda del metodo scelto per costruire   si parla quindi di omologia simpliciale, singolare, cellulare, etc.

ProprietàModifica

FuntorialitàModifica

L'omologia è un funtore dalla categoria degli spazi topologici in quella dei gruppi abeliani. In altre parole, l'omologia (ad ogni livello fissato  ) associa ad ogni spazio   un gruppo   in modo funtoriale: ogni funzione continua

 

induce un omomorfismo di gruppi

 

che soddisfa alcuni assiomi naturali:

  • se   è l'identità allora   è l'identità,
  • l'operazione "commuta" con la composizione:  .

Da questi due assiomi discendono ad esempio due fatti non banali:

  • se   è un omeomorfismo allora   è un isomorfismo,
  • se   è una retrazione su un sottoinsieme   di  , allora   è suriettiva (e l'inclusione   induce una mappa   iniettiva).

Anello dei coefficientiModifica

L'omologia dipende, oltre che dal parametro  , anche dalla scelta di un anello  . I gruppi   del complesso di catene risultano essere dei moduli su  . Anche i gruppi di omologia   sono degli  -moduli e vengono indicati con il simbolo

 

Nella maggior parte dei casi   è l'anello degli interi   oppure un campo. Se   è un campo i gruppi di omologia   sono degli spazi vettoriali e la loro dimensione (se finita) è detta numero di Betti:

 

Il numero di Betti   può essere interpretato grossolanamente come il "numero di buchi  -dimensionali" di  .

Se   è l'anello degli interi il gruppo di omologia   è un gruppo abeliano che può generalmente contenere elementi di torsione.

OmotopiaModifica

L'omologia è invariante per omotopia: deformazioni continue di mappe e spazi lasciano l'omologia immutata. Più precisamente, due mappe

 

omotope inducono lo stesso omomorfismo

 

Tra le conseguenze di questo fatto:

  • Due spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi di omologia isomorfi,
  • Se un sottoinsieme   di   è un retratto di deformazione di  , l'inclusione   induce un isomorfismo in omologia.

Complessi di celle, varietàModifica

Se lo spazio topologico   è descrivibile come un complesso di celle è possibile calcolare l'omologia agevolmente usando l'omologia cellulare. Analogamente, se   è descrivibile come complesso simpliciale può essere usata l'omologia simpliciale.

Se   è un complesso con un numero finito di celle e l'anello di base   è un campo, valgono i fatti seguenti:

  • Lo spazio vettoriale   ha dimensione finita   per ogni  .
  • Se   è la dimensione massima delle celle, allora   per ogni  .

Con queste ipotesi è quindi ben definita la caratteristica di Eulero

 

La caratteristica di Eulero è un importante invariante dello spazio topologico  . A differenza dei numeri di Betti, la caratteristica non dipende dal campo   scelto.

Ad esempio, ogni varietà differenziabile compatta di dimensione   è descrivibile come complesso di celle finito.

Gruppo di indice zeroModifica

Il gruppo di omologia   è sempre isomorfo a  , dove   è il numero di componenti connesse per archi dello spazio topologico  . In particolare, se   è connesso per archi vale l'isomorfismo seguente:

 

Gruppo di indice unoModifica

Se   è uno spazio connesso per archi, il gruppo di omologia intera di indice 1 è determinato dal gruppo fondamentale   di  . Si tratta infatti dell'abelianizzato del gruppo fondamentale:

 

ovvero   quozientato per il più piccolo sottogruppo normale che contenga tutti i commutatori. Questo sottogruppo normale è indicato con  . Il quoziente è effettivamente un gruppo abeliano: in omologia tutti i gruppi sono abeliani, mentre il gruppo fondamentale in generale non lo è.

L'analogia con i gruppi di omotopia termina a questo livello: il secondo gruppo di omologia   non è determinato dal secondo gruppo di omotopia  .

Gruppo di indice massimoModifica

Se   è una varietà di dimensione  , tutti i gruppi di omologia di indice superiore a   sono banali. Il gruppo di indice massimo   è inoltre determinato da due condizioni topologiche: l'orientabilità e la compattezza di  . Se   è l'anello degli interi o un campo e   è connessa, vale il fatto seguente:

 

Per "compatta" si intende "compatta senza bordo" (cioè chiusa).

EsempiModifica

Una varietà compatta (più in generale, un complesso di celle finito) di dimensione   ha tutti i gruppi di omologia di ordine maggiore di   banali. Per conoscere l'omologia di un tale spazio è quindi sufficiente elencarne i gruppi di ordine fino a  . L'omologia è definita su un anello   (generalmente, l'anello degli interi o un campo).

SfereModifica

Come già accennato, l'omologia della sfera  -dimensionale   è la seguente:

 

SuperficiModifica

Una superficie orientabile   compatta di genere   ha i seguenti gruppi di omologia:

 

Spazi proiettiviModifica

Lo spazio proiettivo complesso   è una varietà di dimensione  . I suoi gruppi di omologia sono i seguenti.

 

Brevemente, i gruppi di ordine pari sono isomorfi ad   e quelli di ordine dispari sono banali.

L'omologia dello spazio proiettivo reale è più complicata: questa dipende infatti dall'anello  . Ad esempio, se   è l'anello degli interi si ottengono i gruppi seguenti:

 

I gruppi di indice dispari sono quindi gruppi ciclici di ordine 2, tranne eventualmente l'ultimo. Lo spazio proiettivo reale è orientabile solo per   dispari: solo in questo caso il gruppo di omologia di ordine massimo   è isomorfo a  .

ApplicazioniModifica

Teorema di BrouwerModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del punto fisso di Brouwer.
 
Se   non ha punto fisso, esiste una retrazione   della sfera sul bordo.

Con l'omologia è possibile dimostrare il teorema del punto fisso di Brouwer, che asserisce che ogni funzione continua   dal disco  -dimensionale in sé ha un punto fisso. La dimostrazione procede nel modo seguente: se per assurdo non esistesse un punto fisso, i punti   e   sarebbero distinti per ogni  : intersecando la retta passante per questi due punti con il bordo del disco si costruisce una retrazione   dal disco al suo bordo.

Non esiste però nessuna retrazione dal disco al suo bordo: una tale mappa infatti dovrebbe indurre una mappa suriettiva

 

in omologia. Questo è impossibile, perché per   l'omologia del disco è banale e quella della sfera no.

Spazi non omeomorfiModifica

L'omologia è uno strumento utile a distinguere spazi topologici. Ad esempio, la sfera   e lo spazio proiettivo complesso   sono due varietà della stessa dimensione  . Sono entrambe semplicemente connesse. Se  , gli spazi   e   sono effettivamente omeomorfi. Per   però non lo sono, perché hanno omologie differenti: quella della sfera è sempre banale (tranne per  ) mentre quella dello spazio proiettivo è non banale per ogni   pari.

StrumentiModifica

Successione di Mayer-VietorisModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di Mayer-Vietoris.
 
L'omologia della sfera può essere calcolata rappresentando   come unione di due aperti   e usando la successione esatta.

La successione di Mayer-Vietoris è un importante strumento utile a calcolare l'omologia di uno spazio topologico   a partire da una sua "decomposizione": più precisamente, a partire da un suo ricoprimento in due aperti  . Similmente al teorema di Van Kampen per i gruppi fondamentali, la successione mette in relazione i gruppi di omologia degli spazi  ,  ,   e  . Le omologie di questi spazi formano una successione esatta lunga:

 

Se si conoscolo le omologie di   e le mappe naturali fra queste è quindi possibile dedurre l'omologia per  .

Formula di KünnethModifica

La formula di Künneth permette di calcolare l'omologia di un prodotto   a partire dalle omologie dei singoli fattori   e  . Quando l'anello   è un campo, la formula è la seguente:

 

La formula fa uso del prodotto tensoriale   fra spazi vettoriali.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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