Simmetria centrale

In matematica, e più precisamente in geometria, una simmetria centrale è una trasformazione (della retta, del piano o dello spazio) che scambia tra di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto medio, un punto fissato (della retta, del piano o dello spazio), detto centro di simmetria. La simmetria centrale coincide con la rotazione di 180° rispetto al centro di simmetria.

Geometria euclidea piana

Nel piano euclideo, due punti $A$ e $A'$ si dicono simmetrici rispetto a un punto $O$ quando $O$ è il punto medio del segmento $AA'.$ Il punto $A'$ si dice il simmetrico di $A$ rispetto a $O$ e viceversa.

La corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto $A$ il punto $A'$ suo simmetrico, e viceversa, si dice simmetria centrale di centro $O.$

La simmetria centrale è un'isometria del piano, cioè conserva la lunghezza dei segmenti.

Alcuni autori utilizzano la notazione $\sigma _{O}$ per indicare la simmetria centrale di centro $O;$ il simmetrico di $A$ si scrive $A'=\sigma _{O}(A)$.

La simmetria centrale è involutoria, cioè coincide con la propria inversa e composta con sé stessa dà l'identità.

Infine, la simmetria centrale è un'isometria di tipo diretto, cioè mantiene l'orientazione degli oggetti; ad esempio, una coppia di assi ortogonali, il verso di percorrenza dei lati di un triangolo, ecc.

La simmetria centrale in coordinate cartesiane

Nel piano cartesiano $\mathbb {R} ^{2}$, la simmetria centrale di centro $O(x_{0},y_{0})$ è una corrispondenza biunivoca

$(x,y)\mapsto (x',y')$

definita nel modo seguente:

${\begin{cases}x'=-x+2x_{0}\\y'=-y+2y_{0}.\end{cases}}$

L'espressione si estende in dimensione più alta. Nello spazio euclideo $n$-dimensionale $\mathbb {R} ^{n}$, la simmetria di centro $O(x_{01},x_{02},\ldots ,x_{0n})$ è descritta come

${\begin{aligned}\sigma _{O}\colon \mathbb {R} ^{n}&\to \mathbb {R} ^{n}\\(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\mapsto (x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}'),\end{aligned}}$

dove

$x_{k}'=-x_{k}+2\,x_{0k},\quad k=1,2,\ldots ,n.$

Figure simmetriche

Esempi di figure geometriche con simmetria centrale sono alcuni poligoni circoscrivibili, come il quadrato.

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