In geometria, una ceviana è genericamente un segmento che congiunge un vertice del triangolo al suo lato opposto, o al suo prolungamento; mentre con retta ceviana si intende per estensione la retta su cui giace.

Particolarmente importanti sono le ceviane concorrenti in un unico punto, detto appunto ceviano – le cui condizioni di sufficienza sono dettate dal teorema di Ceva – designando sui lati opposti anche tre punti che sono i vertici del relativo triangolo ceviano il cui circumcerchio è detto cerchio ceviano.

LunghezzaModifica

 
Un triangolo con una ceviana di lunghezza d

Teorema di StewartModifica

La lunghezza di una ceviana può essere calcolata con il teorema di Stewart. Nella figura, la lunghezza della ceviana   è data dalla formula:

 

MedianaModifica

La ceviana può essere una mediana. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

 

oppure

 

da cui

 

In questo caso

 

BisettriceModifica

La ceviana può essere una bisettrice. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

 

e[1]

 

e

 

dove semiperimetro s = (a+b+c)/2.

Il lato di lunghezza a è diviso secondo la proporzione b:c.

AltezzaModifica

La ceviana può essere una altezza del triangolo. In questo caso la sua lunghezza è data dalla formula:

 

e

 

dove semiperimetro s = (a+b+c)/2.

Ceviane concorrentiModifica

 
O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

Tre ceviane concorrenti individuano un punto ceviano che può essere sia interno che esterno al perimetro del triangolo; nel primo caso anche tutte e tre le ceviane sono interne alla figura, invece quando è esterno solo una rimane interna e lo raggiunge solo se prolungata, mentre le altre due incrociano direttamente il punto e intersecano i prolungamenti dei lati.

 
O è il punto ceviano e AA', BB' e CC' sono le ceviane

È possibile determinare anche la lunghezza delle ceviane concorrenti avendo coordinate trilineari (α, β, γ) del punto di concorrenza, le lunghezze dei rispettivi lati a, b e c i lati del triangolo, attraverso la seguente formula:

 

dove lx indica il lato e ωx la coordinata trilineare relativa del punto.

Il punto di concorrenza inoltre segna sulle tre ceviane tre rapporti ri tra la sua distanza dal vertice I e il punto di intersezione col lato opposto:

 ;  ;  

Per questi rapporti valgono le seguenti relazioni di somme e prodotto:

 
 

i cui valori sono rispettivamente ≥6 e a ≥8.[2]

NoteModifica

  1. ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
  2. ^ Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, Math. Assoc. Amer. 1995 pp. 138-141

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