Classe di simmetria

In cristallografia, un gruppo puntuale cristallografico è un insieme di operazioni di simmetria, corrispondenti a uno dei gruppi puntuali in tre dimensioni, tali che ogni operazione (magari seguita da una traslazione) lascerebbe inalterata la struttura di un cristallo, cioè gli stessi tipi di atomi verrebbero collocati in posizioni simili a prima della trasformazione. Ad esempio, in molti cristalli nel sistema cubico, una rotazione della cella unitaria di 90° attorno a un asse perpendicolare a una delle facce del cubo è un'operazione di simmetria che sposta ciascun atomo nella posizione di un altro atomo dello stesso tipo, lasciando inalterata la struttura complessiva del cristallo.

Nella classificazione dei cristalli, ogni gruppo puntuale definisce una cosiddetta classe di cristalli (geometrica). Ci sono infiniti gruppi di punti tridimensionali, tuttavia la restrizione cristallografica sui gruppi puntuali generali fa sì che vi siano solo 32 gruppi puntuali cristallografici. Questi gruppi di 32 punti sono analoghi ai 32 tipi di simmetrie cristalline morfologiche (esterne) derivate nel 1830 da Johann Friedrich Christian Hessel da una considerazione sulle forme cristalline osservate.

Il gruppo puntuale di un cristallo determina, tra le altre cose, la variazione direzionale delle proprietà fisiche che derivano dalla sua struttura, comprese le proprietà ottiche come la birifrangenza, o le caratteristiche elettro-ottiche come l'effetto Pockels. Per un cristallo periodico (al contrario di un quasicristallo), il gruppo deve mantenere la simmetria traslazionale tridimensionale che definisce la cristallinità.

NotazioneModifica

I gruppi puntuali sono denominati in base alle simmetrie dei componenti. Esistono diverse notazioni standard utilizzate da cristallografi, mineralogisti e fisici.

Per la corrispondenza dei due sistemi sottostanti, si veda la voce sistema cristallino.

Notazione di SchoenfliesModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema Schoenflies.

Nella notazione di Schoenflies, i gruppi puntuali sono indicati da un simbolo di lettera con un pedice. I simboli usati in cristallografia hanno il seguente significato::

  •   (  sta per ciclico) indica che il gruppo ha un asse con   rotazioni.   è   con l'aggiunta di un piano speculare (riflesso) perpendicolare all'asse di rotazione.   è   con l'aggiunta di   piani speculari paralleli all'asse di rotazione.
  •   (  sta per Spiegel, che in tedesco significa specchio) denota un gruppo con solo un asse di rotazione-riflessione di   volte.
  •   (  sta per diedro) indica che il gruppo ha un asse di rotazione   volte più   assi doppi perpendicolari a tale asse.   ha, inoltre, un piano speculare perpendicolare all'asse di rotazione.   ha, oltre agli elementi di  , piani speculari paralleli all'asse di rotazione.
  • La lettera   (che sta per tetraedro) indica che il gruppo ha la simmetria di un tetraedro.   include operazioni di rotazione improprie,   esclude operazioni di rotazione improprie e   è   con l'aggiunta di un'inversione.
  • La lettera   (che sta per ottaedro) indica che il gruppo ha la simmetria di un ottaedro (o cubo), con o senza operazioni improprie (quelle che cambiano la manualità) rispettivamente indicate con   e  .

A causa del teorema di restrizione cristallografica si può avere n = 1, 2, 3, 4 o 6 nello spazio a 2 o 3 dimensioni.

n 1 2 3 4 6
Cn C1 C2 C3 C4 C6
Cnv C1v=C1h C2v C3v C4v C6v
Cnh C1h C2h C3h C4h C6h
Dn D1=C2 D2 D3 D4 D6
Dnh D1h=C2v D2h D3h D4h D6h
Dnd D1d=C2h D2d D3d D4d D6d
S2n S2 S4 S6 S8 S12

  e   sono effettivamente vietati perché contengono rotazioni improprie con n=8 e 12 rispettivamente. I 27 gruppi puntuali nella tabella più   e   costituiscono 32 gruppi puntuali cristallografici.

Notazione Hermann-MauguinModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema Hermann-Mauguin.

Una forma abbreviata della notazione Hermann-Mauguin, comunemente usata per i gruppi spaziali serve anche per descrivere i gruppi puntuali cristallografici. I nomi dei gruppi sono:

System Group names  
Cubico 23 m3 432 43m m3m
Esagonale 6 6 6m 622 6mm 6m2 6/mmm
Trigonale 3 3 32 3m 3m
Tetragonale 4 4 4m 422 4mm 42m 4/mmm
Ortorombico 222 mm2 mmm
Monoclino 2 2m m
Triclino 1 1 Relazioni tra i sottogruppi dei 32 gruppi puntuali cristallografici
(le righe rappresentano gli ordini di gruppo dal basso verso l'alto come: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 e 48.)

La corrispondenza tra diverse notazioniModifica

Sistema cristallino Hermann-Mauguin Shubnikov[1] Schoenflies Orbifold Coxeter Ordine
(full) (short)
Triclino 1 1   C1 11 [ ]+ 1
1 1   Ci = S2 × [2+,2+] 2
Monoclino 2 2   C2 22 [2]+ 2
m m   Cs = C1h * [ ] 2
  2/m   C2h 2* [2,2+] 4
Ortorombico 222 222   D2 = V 222 [2,2]+ 4
mm2 mm2   C2v *22 [2] 4
  mmm   D2h = Vh *222 [2,2] 8
Tetragonale 4 4   C4 44 [4]+ 4
4 4   S4 [2+,4+] 4
  4/m   C4h 4* [2,4+] 8
422 422   D4 422 [4,2]+ 8
4mm 4mm   C4v *44 [4] 8
42m 42m   D2d = Vd 2*2 [2+,4] 8
  4/mmm   D4h *422 [4,2] 16
Trigonale 3 3   C3 33 [3]+ 3
3 3   C3i = S6 [2+,6+] 6
32 32   D3 322 [3,2]+ 6
3m 3m   C3v *33 [3] 6
3  3m   D3d 2*3 [2+,6] 12
Esagonale 6 6   C6 66 [6]+ 6
6 6   C3h 3* [2,3+] 6
  6/m   C6h 6* [2,6+] 12
622 622   D6 622 [6,2]+ 12
6mm 6mm   C6v *66 [6] 12
6m2 6m2   D3h *322 [3,2] 12
  6/mmm   D6h *622 [6,2] 24
Cubico 23 23   T 332 [3,3]+ 12
 3 m3   Th 3*2 [3+,4] 24
432 432   O 432 [4,3]+ 24
43m 43m   Td *332 [3,3] 24
 3  m3m   Oh *432 [4,3] 48

IsomorfismiModifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Struttura cristallina.

Molti dei gruppi puntuali cristallografici condividono la stessa struttura interna. Ad esempio, i gruppi di punti 1, 2 e m contengono diverse operazioni di simmetria geometrica (rispettivamente inversione, rotazione e riflessione) ma condividono tutti la struttura del gruppo ciclico  . Tutti i gruppi isomorfi sono dello stesso ordine, ma non tutti i gruppi dello stesso ordine sono isomorfi. I gruppi puntuali che sono isomorfi sono mostrati nella tabella seguente:[2]

Hermann-Mauguin Schoenflies Ordino Tavola dei gruppi piccoli
1 C1 1 C1  
1 Ci = S2 2 C2  
2 C2 2
m Cs = C1h 2
3 C3 3 C3  
4 C4 4 C4  
4 S4 4
2/m C2h 4 D2 = C2 × C2  
222 D2 = V 4
mm2 C2v 4
3 C3i = S6 6 C6  
6 C6 6
6 C3h 6
32 D3 6 D3  
3m C3v 6
mmm D2h = Vh 8 D2 × C2  
4/m C4h 8 C4 × C2  
422 D4 8 D4  
4mm C4v 8
42m D2d = Vd 8
6/m C6h 12 C6 × C2  
23 T 12 A4  
3m D3d 12 D6  
622 D6 12
6mm C6v 12
6m2 D3h 12
4/mmm D4h 16 D4 × C2  
6/mmm D6h 24 D6 × C2  
m3 Th 24 A4 × C2  
432 O 24 S4  
43m Td 24
m3m Oh 48 S4 × C2  

Questa tabella utilizza i gruppi ciclici  , i gruppi diedri  , uno dei gruppi alternati   e uno dei gruppi simmetrici  . Qui il simbolo "×" indica un prodotto diretto.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Archived copy, su it.iucr.org. URL consultato il 25 novembre 2011 (archiviato dall'url originale il 4 luglio 2013).
  2. ^ (EN) I. Novak, Molecular Isomorphism, in European Journal of Physics, vol. 16, n. 4, IOP Publishing, 18 luglio 1995, pp. 151–153, DOI:10.1088/0143-0807/16/4/001, ISSN 0143-0807 (WC · ACNP).

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica