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Dimostrazione della irrazionalità di e

Il numero e fu introdotto nel 1683 da Jacob Bernoulli. Più di mezzo secolo dopo, Eulero, che fu uno studente di Johann Bernoulli (fratello minore di Jacob), dimostrò che è irrazionale; cioè, non è può essere espresso come rapporto tra due interi.

Dimostrazione di EuleroModifica

Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di   nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo).[1][2][3] Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di   come frazione continua semplice, che è

 

Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita,   è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di  , vedere Cohn (2006). [4][5] Poiché la frazione continua di   non è periodica, questo dimostra anche che   non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare,   è irrazionale.

Dimostrazione di FourierModifica

La dimostrazione più conosciuta è quella di Joseph Fourier procedendo per assurdo,[6] che si basa sull'identità

 

Si supponga che   sia un numero razionale. Allora esistono   e   interi positivi tale che  . Da notare che   non può essere uguale a 1 dato che   non è un intero. Si può dimostrare utilizzando la precedente identità che   è strettamente compreso tra   e  :

 

Si definisca il numero

 

Se   è razionale, allora   è un intero, infatti sostituendo   nella definizione di   si ottiene

 

Il primo termine è un intero, e ogni frazione nella somma è in effetti anch'essa un intero poiché   per ogni termine. Pertanto,   è un intero.

Si dimostra ora che  . Prima, per mostrare che   è strettamente positivo, si inserisce la rappresentazione in serie di   nella definizione di  , da cui si ricava

 

poiché tutti i termini sono strettamente positivi.

Resta da dimostrare che  . Per tutti i termini con   si ha la stima superiore

 

Questa disuguaglianza è stretta per ogni  . Cambiando l'indice della sommatoria in   e utilizzando la formula della serie geometrica, si ottiene

 

Dal momento che non esistono degli interi strettamente compresi tra   e  , si è ottenuta una contraddizione e quindi   deve essere irrazionale. Q.E.D.

Dimostrazioni alternativeModifica

Si può ottenere un'altra dimostrazione[7] da quella precedente notando che

 

e questa disuguaglianza è equivalente a  . Questo è ovviamente impossibile, poiché   e   sono numeri naturali.

Un'altra dimostrazione ancora[8][9] deriva dal fatto che

 

Si definisca   come segue:

 

 

Questo implica che   per ogni intero  

Si nota che   è sempre un intero. Si assuma che   sia razionale.

Quindi,   dove   sono coprimi e  . È possibile scegliere   propriamente in modo che   sia un intero, cioè prendendo  .

Perciò, con questa scelta, la differenza tra   e   dovrebbe essere un intero. Ma segue dalla disuguaglianza precedente che è impossibile. Quindi,   è irrazionale. Questo significa che   è irrazionale.

GeneralizzazioniModifica

Nel 1840, Liouville pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di  [10] seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali.[11] Questo ultimo risultato implica che   è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di  . Nel 1891, Hurwitz spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che   non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali.[12] In particolare,   è irrazionale.

Più in generale,   è irrazionale per ogni   razionale diverso da zero.[13]

NoteModifica

  1. ^ Leonhard Euler, De fractionibus continuis dissertatio [A dissertation on continued fractions] (PDF), in Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, vol. 9, 1744, pp. 98–137.
  2. ^ Leonhard Euler, An essay on continued fractions, in Mathematical Systems Theory, vol. 18, 1985, pp. 295–398, DOI:10.1007/bf01699475.
  3. ^ C. Edward Sandifer, Chapter 32: Who proved e is irrational?, in How Euler did it, Mathematical Association of America, 2007, pp. 185–190, ISBN 978-0-88385-563-8, LCCN 2007927658.
  4. ^ A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e
  5. ^ Henry Cohn, A short proof of the simple continued fraction expansion of e, in American Mathematical Monthly, vol. 113, nº 1, Mathematical Association of America, 2006, pp. 57–62, DOI:10.2307/27641837, JSTOR 27641837.
  6. ^ Janot de Stainville, Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie [A mixture of Algebraic Analysis and Geometry], Veuve Courcier, 1815, pp. 340–341.
  7. ^ A. R. G. MacDivitt e Yukio Yanagisawa, An elementary proof that e is irrational, in The Mathematical Gazette, vol. 71, nº 457, London, Mathematical Association, 1987, pp. 217, DOI:10.2307/3616765, JSTOR 3616765.
  8. ^ L. L. Penesi, Elementary proof that e is irrational, in American Mathematical Monthly, vol. 60, nº 7, Mathematical Association of America, 1953, pp. 474, DOI:10.2307/2308411, JSTOR 2308411.
  9. ^ Apostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  10. ^ Joseph Liouville, Sur l'irrationalité du nombre e = 2,718…, in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1, vol. 5, 1840, pp. 192.
  11. ^ Joseph Liouville, Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e, in Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1, vol. 5, 1840, pp. 193–194.
  12. ^ Adolf Hurwitz, Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e, in Mathematische Werke, vol. 2, Basel, Birkhäuser, 1933 [1891], pp. 129–133.
  13. ^ Martin Aigner e Günter M. Ziegler, [[Proofs from THE BOOK]], 4th, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1998, pp. 27–36, DOI:10.1007/978-3-642-00856-6, ISBN 978-3-642-00855-9. Wikilink compreso nell'URL del titolo (aiuto).

Voci correlateModifica