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Nella matematica, la funzione esponenziale può essere caratterizzata in vari modi. Le seguenti definizioni sono le più comuni. Questo articolo discute il motivo per cui ogni caratterizzazione ha senso, e del perché ogni definizione implica l'altra. Come caso speciale di queste considerazioni, si vedrà che le tre definizioni più comuni della costante matematica e sono anche equivalenti tra di loro.

Indice

Definizioni più comuniModifica

Le sei più comuni definizione della funzione esponenziale   con   reale sono:

1. Si definisce   come il limite
 
2. Si definisce   come il valore della serie
 
(Con   si indica il fattoriale di  . Una dimostrazione che e è irrazionale utilizza questa rappresentazione.)
3. Si definisce   come l'unico numero   tale che
 
Ne deriva che è l'inversa della funzione logaritmo naturale, che è definita da questo integrale.
4. Si definisce   come l'unica soluzione del problema di Cauchy
 
(   denota la derivata di  .)
5. La funzione esponenziale   è l'unica funzione misurabile secondo Lebesgue con   che soddisfa
 
(Hewitt and Stromberg, 1965, esercizio 18.46). Alternativamente, è l’unica funzione continua "da qualche parte" con queste proprietà (Rudin, 1976, capitolo 8, esercizio 6). Il termine "continua da qualche parte" significa esiste almeno un punto   in cui   è continua. Come mostrato sotto, se   per ogni   e   e inoltre   è continua in un punto   allora   è necessariamente continua ovunque.
(Come controesempio, se non la continuità o la misurabilità, è possibile dimostrare l'esistenza di una funzione non misurabile e discontinua ovunque con questa proprietà usando una base di Hamel per i numeri reali sul campo dei razionali, come decritto Hewitt e Stromberg.)
Poiché   per   razionali per la proprietà precedente (vedere sotto), si potrebbe anche usare la monotonicità o altre proprietà per rinforzare la scelta di   per numeri irrazionali, ma tali alternative si rivelano insolite.
Si possono anche sostituire le condizioni che   e che   sia una funzione misurabile secondo Lebesgue o continua da qualche parte con la singola proprietà  . Questa condizione, insieme a  , implicano facilmente entrambe le condizioni nella quarta caratterizzazione. Infatti, si ha la condizione iniziale   dividendo entrambi membri dell'equazione
 
per  , e   deriva da   e la definizione della derivata come segue:
 
6. Sia   l'unico numeri reale che soddisfa
 
Si può mostrare che questo limite esiste. Questa definizione è particolarmente adatta per calcolare la derivata della funzione esponenziale. Si definisce quindi   la funzione esponenziale con questa base.

Estensione a domini più grandiModifica

Un modo di descrivere la funzione esponenziale su domini più grandi dei numeri reali è di definirla prima in   usando una delle precedenti caratterizzazioni e dopo estenderla in un modo che vada bene per ogni funzione analitica.

È possibile anche usare la caratterizzazione direttamente sul dominio più grande, sebbene potrebbero comparire alcuni problemi. (1), (2), e (4) hanno tutte senso per una arbitraria algebra di Banach. (3) presenta dei problema per i numeri complessi, perché ci sono percorsi d'integrazione che non sono equivalenti, e (5) non è sufficiente. Per esempio, la funzione   definita (per   e   reali) come

 

soddisfa la condizione nella (5) senza essere la funzione esponenziale di  . Per rendere (5) sufficiente per il dominio dei numeri complessi, si dovrebbe assumere che esista un punto in cui   sia una mappa conforme o altrimenti aggiungere la condizione

 

In particolare, la condizione alternativa nella (5) che   è sufficiente dal momento che implicitamente assume che   sia conforme.

Dimostrazione che ogni caratterizzazione è ben definitaModifica

Qualcuna di queste definizioni richiedono delle giustificazioni per dimostrare che sono ben definite. Per esempio, quando il valore della funzione è definito come il risultato di un limite (di una successione o di una serie), si deve provare che tale limite esiste.

Caratterizzazione 2Modifica

Poiché

 

segue dal criterio del rapporto che   converge per ogni  .

Caratterizzazione 3Modifica

Dal momento che l'integrando è una funzione integrabile di  , l'espressione è ben definita. Ora si deve mostrare chela funzione da   a   definita come

 

è biettiva. Siccome   è positivo per  , questa funzione è monotona crescente, quindi iniettiva. Se inoltre valgono i due integrali

  allora è chiaramente anche suriettiva. Infatti, nel caso in esame questi integrali valgono nel nostro caso, come si deduce dal criterio dell'integrale e dalla divergenza della serie armonica.

Equivalenza delle definizioniModifica

Le seguenti dimostrazioni dimostrano l'equivalenza delle tre caratterizzazioni date precedentemente per  . La dimostrazione consiste di due parti. Prima, si stabilisce l'equivalenza delle definizioni 1 e 2 e successivamente l'equivalenza fra 1 e 3.

Equivalenza delle definizioni 1 e 2Modifica

I seguenti ragionamenti sono adattati da una dimostrazione in Rudin, teorema 3.31, p. 63–-5.

Sia   un fissato numero reale non negativo. Si definisce

 

Per il teorema binomiale,

 

(usando   per ottenere la disuguaglianza finale) in modo che

 

dove l'esponenziale   è definito con la seconda caratterizzazione. Si deve utilizzare il limite superiore perché non si sa ancora se realmente   converge. Ora, per l'altro verso della disuguaglianza, si nota che dall'espressione di prima con  , se  , si ottiene

 

Fissato  , si manda   all'infinito e si ricava

 

(ancora, si deve usare il limite inferiore poiché non si conosce se il limite effettivamente esiste). Ora, presa la disuguaglianza appena ottenuta, si prende   tendente all'infinito e tenendo conto dell'altra si ha

 

cosicché

 

Si può quindi estendere questa equivalenza ai numeri negativi notando che   e prendendo il limite per   che tende all'infinito. Il termine d'errore di questa limite è rappresentato da

 

dove il grado dei polinomi (in  ) nel termine con denominatore   è  .

Equivalenza delle definizioni 1 e 3Modifica

Si definisca la funzione logaritmo naturale in termini dell'integrale definito come sopra. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale,

 

Inoltre,  

Sia   un numero reale fissato, e sia

 

Si mostrerà che  , il quale implica che  , dove   è secondo la definizione 3. Si ha

 

Qui si è usata la continuità di  , che segue dalla continuità di  :

 

Qui invece si è usato il fatto che  , che può essere dimostrato tramite induzione matematica per i numeri naturali oppure usando l'integrazione per sostituzione. (L'estensione a potenze reali deve aspettare finché   e   sono definiti come uno l'inverso dell'altro, in modo che   possa essere espresso per   reale come  .)

 
 
 
 

Equivalenza della definizione 2 e 4Modifica

Sia   un numero intero non negativo. Per la definizione 4 e utilizzando l'induzione,  .

Dunque  

Usando la serie di Taylor,

 

Questo mostra che la definizione 4 implica la 2.

Secondo la definizione 2,

 

Inoltre,   Questo dimostra che la definizione 2 implica la 4, concludendo la dimostrazione.

Equivalenza delle definizioni 1 e 5Modifica

La seguente dimostrazione è la versione semplificata di una in Hewitt e Stromberg, esercizio 18.46. Prima, si prova che la misurabilità (o l'integrabilità secondo Lebesgue) implica la continuità per una funzione   non nulla che soddisfa  , e che la continuità implica   per qualche  , e alla fine da   si ricava  .

Prima di tutto si dimostra un po' di proprietà elementari di   con l'ipotesi che   e   non è identicamente zero:

  • Se   è non nulla in un punto  , allora è non nulla ovunque. Dimostrazione:   implica  .
  •  . Dimostrazione:   e   non è zero.
  •  . Dimostrazione:  .
  • Se   è continua in un punto  , allora è continua ovunque. Dimostrazione:   con   per la continuità in  .

La seconda e terza proprietà significano che è sufficiente di dimostrare che   per   positivi.

Se   è una funzione integrabile secondo Lebesgue, allora si può definire

 

Da ciò segue che

 

Poiché   è non nulla, si può scegliere qualche   tale che   per risolvere l'espressione precedente in  . Pertanto:

 

L'espressione finale deve tendere a zero se  , dato che   e   è continua. Segue che   è continua.

Si dimostra ora che  , per qualche  , per ogni numero razionale positivo  . Sia   per gli interi positivi   e  . Allora

 

per induzione matematica su  . Dunque,   e quindi

 

per  . Si noti che se ci si restringe alla funzione a valori reali  , allora   è positiva ovunque e allora   è reale.

Infine, per continuità, dal momento che   per ogni   razionale, deve essere vero per ogni numero reale poiché la chiusura dei razionali sono i reali (cioè, si può scrivere ogni   reale come il limite di una successione di razionali). Se   allora ne deriva che  . Questo è equivalente alla definizione 1 (o 2, o 3), a seconda di quale caratterizzazione si usa per e.

Definizione 2 implica definizione 6Modifica

Secondo la definizione 2,

 
 
 
 

Definizione 6 implica definizione 4Modifica

Secondo la definizione 6,   Ma si ha inoltre  , dunque la definizione 6 implica la definizione 4.

BibliografiaModifica

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition (McGraw–Hill, 1976), chapter 8.
  • Edwin Hewitt e Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis (Springer, 1965).
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