Esponente di Ljapunov

Nella teoria dei sistemi dinamici, un esponente di Ljapunov di un sistema dinamico (deterministico) in un punto nello spazio delle fasi fornisce una misura di quanto sensibilmente le orbite del sistema sono dipendenti dai dati iniziali, caratterizzando la presenza di dinamiche caotiche. Gli esponenti di Ljapunov misurano in particolare la velocità media di allontanamento di due orbite infinitesimamente vicine per tempi sufficientemente lunghi.

Ad un punto nello spazio delle fasi sono associati un numero di esponenti di Ljapunov pari alla dimensione dello spazio; se l'esponente di Ljapunov massimo è , e se la distanza tra le orbite è abbastanza piccola, allora il vettore ha un'evoluzione nel tempo (tasso di separazione delle due orbite) che per tempi grandi è data approssimativamente da:

Se è positivo allora il sistema presenta una dipendenza sensibile dai dati iniziali (in modo esponenziale), ed è quindi un sistema caotico. Il momento in cui un sistema diventa caotico è dato dal reciproco di , ed è detto tempo caratteristico o tempo di Ljapunov del sistema. Esso rappresenta il limite di predicibilità del sistema.

Mappe unidimensionali

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Sia   e   una funzione derivabile, e si consideri il sistema dinamico discreto dato dall'iterazione della mappa  . Si definisce l'esponente di Ljapunov del punto  , ovvero dell'orbita  , come:

 

o equivalentemente come:

 

ove il limite esiste.

Per motivare questa definizione si può osservare in primo luogo che la derivata di   in un punto   fornisce la velocità con cui i punti vicini a   si sono allontanati dopo una iterazione: se la distanza iniziale tra due punti vicini a   è  , dopo l'applicazione di   questa diventa  , ovvero  . Inoltre, il prodotto   fornisce la derivata dell'iterazione   nel punto  , da cui si ha la velocità con cui i punti vicini a   si sono allontanati dopo   iterazioni. Più precisamente, se la distanza iniziale tra due punti vicini a   è  , dopo l'applicazione di   questa diventa  , ovvero:

 

che si può scrivere (tenendo presente il discorso iniziale ed il fatto che il tempo che stiamo considerando è  ) come:

 

Da queste osservazioni si conclude che se esiste il limite   per la quantità:

 

allora per tempi   molto lunghi si ha che la distanza tra due orbite vicine a   è cresciuta con un fattore moltiplicativo approssimativamente uguale a  .

Mappe multidimensionali

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Per una mappa   differenziabile ed una sua orbita si possono definire   esponenti di Ljapunov   che misurano la velocità di separazione dall'orbita in   direzioni ortogonali in modo che lungo la direzione  -esima le distanze tra punti vicini all'orbita evolveranno come   per   grandi. La prima direzione sarà quella in cui tale velocità è massima, la seconda sarà scelta come quella di velocità massima nell'insieme delle direzioni ortogonali alla prima, e così via. Nelle direzioni che sono combinazioni lineari di due direzioni associate ad esponenti di Ljapunov diversi la velocità di separazione è stabilita dall'esponente di Ljapunov più grande.

Si definisce l'esponente di Ljapunov associato ad un punto   e ad una direzione   come la velocità di separazione media di un punto   vicino a   tale che il vettore congiungente   ha la direzione  . Dopo   iterazioni la distanza tra   e   che originariamente era   è diventata circa  , il tasso di crescita medio per ogni passo è dato da:

 

dove   è il vettore unitario di direzione  . Se si considera il logaritmo:

 

si può dire che il sistema si è evoluto in modo che la distanza iniziale   è diventata  . Tuttavia si è fatta la media su un numero finito di passi, se si considera l'intera traiettoria si può definire l'esponente di Ljapunov di   nella direzione   come il tasso di crescita esponenziale medio nel seguente modo:

 

Da questa definizione si deduce che se il vettore congiungente ha la direzione   allora la distanza   si evolve come   per   grandi.

Per valutare quanto il valore di   possa variare se si considerano direzioni diverse, si dimostra che   può assumere al più un numero di valori pari alla dimensione   dello spazio e che per quasi tutti i punti dello spazio assume lo stesso valore: il valore massimo.

Esempio

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Nel seguito si mostra un caso in cui l'approssimazione lineare di   rimane sempre la stessa. Si consideri il sistema dinamico discreto dato dall'iterazione della mappa   con   matrice   dotata di   autovalori  . Al passo n-esimo si ha che  , quindi la distanza iniziale   è diventata  . Se il vettore   è nell'autospazio associato a   allora:

 

Se il vettore   ha una componente non nulla nell'autospazio associato a   (che è il massimo degli autovalori per come li abbiamo numerati), allora si può esprimere   come combinazione lineare:

  con  

dove   è una base ortonormale di autovettori (si assume per semplicità che esista tale base). Dunque:

 
 

Per avere un'idea di quale è il fattore medio di espansione per ogni passo si può calcolare il limite della media geometrica:

 

che dai calcoli precedenti risulta del resto uguale a  . Quindi la distanza   evolverà per tempi lunghi come  . Questo significa che tutti i punti   vicini a   per i quali il vettore congiungente   ha una componente non nulla lungo   hanno una velocità asintotica media di separazione (o avvicinamento) da   determinata unicamente dal massimo degli autovalori di  .

Il calcolo dell'esponente di Ljapunov sulla base delle relazioni stabilite sopra fornisce infatti:

 

Con un discorso analogo si può dimostrare che se il vettore congiungente   è ortogonale all'autospazio relativo all'autovalore massimo ma ha una componente non nulla rispetto al secondo autovalore più grande   allora l'esponente di Ljapunov associato a tale direzione è  . Più in generale, l'esponente di Ljapunov in   lungo la direzione   è dato dal logaritmo del massimo autovalore   associato ad un autovettore rispetto al quale   non è ortogonale.

Per visualizzare intuitivamente il concetto si può considerare una sfera infinitesima attorno al punto   di un'orbita: questa dopo ogni iterazione della mappa   viene deformata in un ellissoide ottenuto come immagine della sfera mediante l'applicazione lineare data dalla matrice jacobiana  . L'ellissoide fornisce informazioni sul comportamento locale della mappa in particolare sulle direzioni in cui questa contrae o espande maggiormente lo spazio. Di questo ellissoide si possono individuare gli assi principali che corrispondono alle direzioni di contrazione o espansione. Tuttavia, ad ogni iterazione la trasformazione lineare è diversa, e così anche gli autovettori e gli autovalori e quindi gli assi e la forma dell'ellissoide. Il teorema di Oseledec assicura che per quasi ogni punto l'azione delle trasformazioni lineari date dai differenziali  , calcolati lungo la traiettoria, in media tende asintoticamente ad essere equivalente all'azione di una stessa matrice con   autovalori i cui logaritmi danno gli esponenti di Ljapunov e i cui autovettori danno le direzioni di espansione e contrazione corrispondenti agli assi di un ellissoide "medio".

Bibliografia

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  • (EN) R. Temam, Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Cambridge: Springer-Verlag, 1988.
  • (EN) J. Kaplan e J. Yorke, Chaotic behavior of multidimensional difference equations, in H. O. Peitgen e H. O. Walther (a cura di), Functional Differential Equations and Approximation of Fixed Points, New York, Springer, 1979, ISBN 3-540-09518-7.
  • (EN) Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G., Vattay G.; Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenaghen 2005.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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Controllo di autoritàLCCN (ENsh91004822 · GND (DE4123668-3 · BNF (FRcb125431035 (data) · J9U (ENHE987007536903905171