Estensione di Galois

In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

DefinizioneModifica

L'estensione   si dice di Galois se il campo fisso del gruppo   degli  -automorfismi di   è esattamente il campo di base  , in questo caso il gruppo   è detto gruppo di Galois e si indica con  .

Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se   è un campo assegnato e   è un gruppo finito di automorfismi di  , allora   è un'estensione di Galois, e   è il campo fisso di  .

Caratterizzazione delle estensioni di GaloisModifica

Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita   è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

  •   è un'estensione normale e separabile;
  •   è il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in  ;
  •  , ossia il grado dell'estensione è uguale all'ordine del gruppo degli automorfismi di  .

Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione   tale risultato si generalizza e si ha che   è di Galois se e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

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