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Glossario di teoria dei gruppi

lista di un progetto Wikimedia

Un gruppo è un insieme munito di una operazione associativa dotata di elemento neutro e tale che ogni elemento possiede un inverso. Gruppi molto importanti sono costituiti da trasformazioni; altri gruppi che si incontrano spesso sono costituiti da insiemi numerici muniti della moltiplicazione. In genere l'operazione di un gruppo viene chiamata prodotto e il suo elemento neutro viene detto unità o elemento identità. In questo articolo useremo e per denotare l'unità di un gruppo.

Indice
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AModifica

AutomorfismoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Automorfismo.

Si dice automorfismo un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. L'insieme degli automorfismi di un oggetto matematico con l'operazione di composizione di funzioni forma un gruppo chiamato gruppo di automorfismi.

Automorfismo internoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Automorfismo interno.

Un automorfismo interno di un gruppo   è un automorfismo indotto da un elemento   di   della forma:

 

Azione di gruppoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Azione di gruppo.

Siano   un gruppo ed   un insieme, siano inoltre   e   due elementi di   e   un elemento di  . Si dice azione di gruppo una funzione:

 
 

dove   è definita in modo tale da verificare le due seguenti condizioni:

  •  
  •  

CModifica

CentralizzatoreModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Centralizzatore.

Se   è un gruppo e   è un elemento di   si dice centralizzatore di   l'insieme:

 

CentroModifica

Il centro di un gruppo   è il sottoinsieme:

 

Classe di coniugioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Classe di coniugio.

Due elementi   e   di un gruppo   si dicono coniugati tra loro se esiste un elemento   di   tale che  . Una classe di coniugio è quindi un insieme di   formato solo da elementi coniugati tra di loro, quindi la classe di coniugio di   sarà:

 

CommutatoreModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Commutatore (matematica).

Il commutatore di due elementi   e   di un gruppo   è definito come l'elemento:

 

dove   e   sono gli inversi rispettivamente di   e  . È da notare che se l'operazione   gode della proprietà commutativa il commutatore di qualsiasi coppia di elementi di   è uguale a:

 

EModifica

Estensione di un gruppoModifica

Dati due gruppi   e  , si dice estensione del gruppo   mediante   il gruppo   in cui esista un sottogruppo normale   tale che   è isomorfo ad   e   è isomorfo ad  .

GModifica

Gruppo abelianoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo abeliano.

Un gruppo si dice abeliano o commutativo se la sua operazione binaria possiede la proprietà commutativa.

Gruppo abeliano liberoModifica

Un gruppo abeliano è detto libero se ogni suo elemento può essere scritto in modo unico come combinazione finita di elementi di un suo fissato sottinsieme, detto base[1]. Dato un insieme qualunque   è possibile costruire il gruppo abeliano libero   con base   nel seguente modo: gli elementi di   sono le funzioni su   a valori interi tali che   per ogni   tranne al più un numero finito;   viene reso un gruppo abeliano con l'ordinaria somma tra funzioni definita da  , ed è libero con base data dalle funzioni   definite da

 

Identificando   con   in modo naturale si ottiene il gruppo libero generato da  .

Questa è solo una delle (infinite) possibili costruzioni esplicite, nel senso che è possibile trovare altri gruppi isomorfi a questo usando costruzioni diverse; pertanto, risulta utile caratterizzare   tramite la seguente proprietà universale:   è l'unico (a meno di isomorfismi) gruppo abeliano tale che, per ogni gruppo abeliano   e per ogni funzione  , esiste un unico omomorfismo di gruppi   che estende  .

Gruppo ciclicoModifica

Un gruppo si dice ciclico se è generato da un insieme costituito da un solo elemento. Un tale gruppo può avere ordine finito (e in particolare ridursi semplicemente all'unità), oppure essere un gruppo ciclico di ordine infinito.

Gruppo dei quaternioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo dei quaternioni.

Il gruppo dei quaternioni è un particolare gruppo non abeliano formato da otto elementi, è il più piccolo gruppo hamiltoniano ed è anche il secondo gruppo non abeliano più piccolo, dopo il gruppo simmetrico  .

Gruppo diedraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo diedrale.

Un gruppo diedrale di ordine   è un gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari con   lati.

Gruppo di DedekindModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo hamiltoniano.

Un gruppo di Dedekind è un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo finitamente generatoModifica

Un gruppo si dice finitamente generato se è generato da un insieme finito di elementi.

Gruppo finitoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo finito.

Un gruppo finito è un gruppo costituito da un numero finito di elementi.

Gruppo generale lineareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo generale lineare.

Il gruppo generale lineare, denotato spesso con  , è il gruppo delle matrici invertibili n × n con elementi nel campo K; particolarmente importanti sono i gruppi lineari generali sul campo dei numeri reali e dei numeri complessi.

Gruppo hamiltonianoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo hamiltoniano.

Un gruppo hamiltoniano è un gruppo non abeliano in cui ogni sottogruppo è normale.

Gruppo liberoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo libero.

Un gruppo   si dice libero se esiste un sottoinsieme   di   tale che è possibile scrivere ogni elemento di   come prodotto di un numero finito di elementi di   e dei suoi inversi in modo unico.

Gruppo nilpotenteModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Nilpotente.

Un gruppo   si dice nilpotente se la catena di sottogruppi normali:

 

con   centro del gruppo quoziente  , termina finitamente.

Gruppo risolubileModifica

Un gruppo   è risolubile se esiste una catena di sottogruppi

 

in cui ogni   è normale in   e il gruppo quoziente   è abeliano.

Gruppo sempliceModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo semplice.

Gruppo che non contiene sottogruppi normali diversi dall'unità e da sé stesso. Ogni gruppo finito è costruibile prendendo dei gruppi semplici ed operando delle estensioni di gruppi: dunque lo studio e la classificazione dei gruppi semplici finiti è centrale nello studio dei gruppi finiti in generale.

Gruppo simmetricoModifica

Il gruppo simmetrico è il gruppo formato da tutte le permutazioni degli elementi di un insieme e dall'operazione di composizione di funzioni. Solitamente il gruppo simmetrico delle permutazioni di un insieme di cardinalità   viene indicato con  .

Gruppo quozienteModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo quoziente.

Se   è un gruppo ed   un sottogruppo normale di   allora si dice gruppo quoziente o gruppo fattore di   per   l'insieme

 

dei laterali destri o sinistri di  .

IModifica

Insieme generatore di un gruppoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Insieme di generatori.

Se   è un gruppo si dice che un sottoinsieme   di   è un insieme generatore del gruppo   se per ogni elemento   appartenente a   si ha che   con   appartenenti a  .

InversoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Elemento inverso.

Se   è un gruppo,   e   sono due elementi di   si dice che   è l'inverso di   se  , spesso l'elemento inverso di un elemento   viene indicato come  .

Isomorfismo tra gruppiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Isomorfismo tra gruppi.

Un omomorfismo tra due gruppi si dice isomorfismo se è anche biettivo.

LModifica

LateraleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Classe laterale.

Se   è un gruppo,   è un sottogruppo di   e   è un elemento di   si dice laterale destro di   in   rappresentato da   l'insieme:

 

e si dice laterale sinistro di   in   rappresentato da   l'insieme:

 

NModifica

NormalizzatoreModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Normalizzatore.

Se   è un gruppo e   è un sottogruppo di   si dice normalizzatore di   l'insieme:

 

Nucleo di un omomorfismo tra gruppiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Nucleo (matematica).

Se   e   sono due gruppi, il nucleo o kernel di un omomorfismo   è l'insieme degli elementi di   che hanno come immagine l'unità di  .

OModifica

OmologiaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Omologia (topologia).

Un'omologia è una successione di gruppi abeliani assegnata ad un particolare oggetto matematico (come uno spazio topologico o un gruppo) che fornisce in qualche maniera informazioni sull'oggetto in considerazione. Un'omologia su un oggetto   viene indicata come:

 

Omomorfismo di gruppiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Omomorfismo di gruppi.

Se   e   sono due gruppi la funzione   si dice omomorfismo tra   e   se per ogni   e   appartenenti a   si ha:

 

Ordine di un elementoModifica

Se   è un gruppo e   è un elemento di  , si dice ordine di   l'ordine del gruppo ciclico generato da  .

Ordine di un gruppoModifica

Se   è un gruppo, il suo ordine è la cardinalità dell'insieme   cioè il numero dei suoi elementi. Spesso l'ordine di un gruppo   viene indicato come  .

PModifica

p-gruppoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo primario.

Un gruppo primario (o p-gruppo) è un gruppo i cui elementi hanno un ordine che è potenza di un numero primo p.

Presentazione di un gruppoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Presentazione di un gruppo.

Una presentazione di un gruppo è una particolare definizione ottenuta mediante l'elencazione dei seguenti insiemi:

  • i generatori del gruppo, ovvero degli elementi il cui prodotto combinato dà origine a tutti gli elementi del gruppo;
  • le relazioni, ovvero una serie di uguaglianze tra i vari elementi del gruppo.

Problema di BurnsideModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Problema di Burnside.

Il problema di Burnside è un quesito di teoria dei gruppi proposto nel 1902 da William Burnside. Il problema può essere formulato in questo modo:

Se un gruppo è finitamente generato e tutti i suoi elementi hanno ordine finito allora il gruppo è finito?

La risposta a questa domanda è stata dimostrata essere negativa nel 1964 da Golod e Šafarevič.

Prodotto diretto e semidirettoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto diretto.

Il prodotto diretto di due gruppi   e   è un altro gruppo, costruito prendendo il prodotto cartesiano   e definendo la legge di composizione:

 

dove   e  .

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto semidiretto.

Il prodotto semidiretto è una generalizzazione del concetto di prodotto diretto. Un prodotto semidiretto di due gruppi   e   ha sempre come elementi quelli del prodotto cartesiano  . La legge di composizione però dipende anche da un omomorfismo particolare scelto fra gli omomorfismi  

Prodotto liberoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto libero.

Siano   e   due gruppi. Si definisce parola in   e   una successione finita di elementi   dove   è un elemento di   o di  .

Il prodotto libero   tra   e   è il gruppo di tutte le parole in   e   a meno di una relazione di equivalenza. L'operazione di gruppo è il concatenamento delle parole.

RModifica

Rango di un gruppo abelianoModifica

Il rango di un gruppo abeliano   rappresenta la dimensione più grande gruppo abeliano libero contenuto in  .

Rappresentazione di un gruppoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Rappresentazione di un gruppo.

Una rappresentazione di un gruppo   su uno spazio vettoriale   su un campo   è un omomorfismo di gruppi da   al gruppo generale lineare su V (spesso indicato con  ).

Relazione di congruenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Relazione di congruenza.

Se   è un gruppo e   è una relazione binaria su   allora   è una congruenza se:

  • dato un generico elemento   di  ,  ;
  • dati i generici elementi   e   di  , se   allora  
  • dati i generici elementi  ,   e   di  , se   e   allora  ;
  • dati i generici elementi   e   di  , se   allora  
  • dati i generici elementi  ,  ,   e   di   se   e   allora  .

Relazione di equivalenzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Relazione di equivalenza.

Una relazione di equivalenza   è una relazione binaria tra elementi di un insieme   riflessiva, simmetrica e transitiva quindi

  •  
  •   implica  
  •   e   implicano  

Reticolo dei sottogruppi di un gruppoModifica

Se   è un gruppo allora il reticolo dei sottogruppi del gruppo   è la struttura algebrica formata dall'insieme dei sottogruppi di   e dall'operazione di inclusione fra insiemi.

SModifica

Somma direttaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Prodotto diretto.

Il prodotto diretto tra due gruppi scritti in forma additiva viene anche chiamato somma diretta.

SottogruppoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottogruppo.

Se   è un gruppo rispetto all'operazione   allora si dice sottogruppo un sottoinsieme di   chiuso rispetto all'operazione  .

Sottogruppo caratteristicoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottogruppo caratteristico.

Un sottogruppo si dice caratteristico se viene mandato in sé da ogni automorfismo del gruppo che lo contiene

Sottogruppo di torsioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottogruppo di torsione.

Se   è un gruppo il suo sottogruppo di torsione è l'insieme dei suoi elementi aventi ordine finito. Gli elementi di un sottogruppo di torsione si dicono elementi di torsione.

Sottogruppo normaleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sottogruppo normale.

Se   è un gruppo si dice che il gruppo   è un sottogruppo normale di   se è un sottogruppo di   e per ogni elemento   di   i laterali destri   di H coincidono con i laterali sinistri   di H.

TModifica

Tabella di CayleyModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Tabella di Cayley.

Tabella a doppia entrata che mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi di un gruppo finito, descrivendone quindi la struttura. Può essere usata per dedurre velocemente proprietà di un gruppo quali il centro o l'abelianità.

Teorema di isomorfismoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di isomorfismo.

Nella teoria dei gruppi esistono tre teoremi di isomorfismo che definiscono degli isomorfismi tra vari oggetti della teoria dei gruppi.

Teorema di LagrangeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi).

Il teorema di Lagrange è un enunciato che afferma che ogni sottogruppo di un gruppo finito ha ordine che divide l'ordine del gruppo. Quindi se   è un gruppo e   è un sottogruppo di   allora l'ordine di   divide l'ordine di  .

Teorema enormeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Classificazione dei gruppi semplici finiti.

Il teorema enorme è l'enunciato che elenca tutti tipi di gruppi finiti semplici esistenti, cioè risolve il problema della classificazione di tali gruppi. Il nome è dovuto al fatto che la dimostrazione completa richiede sviluppi presentati in una gran quantità di articoli, per un complesso di circa 16000 pagine.

Teoremi di SylowModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teoremi di Sylow.

Importanti teoremi riguardanti i  -gruppi.

UModifica

UnitàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Elemento neutro.

Se   è un gruppo, si dice unità o elemento neutro del gruppo   l'elemento   appartenente a   tale che per ogni   in   si ha che  . L'unità di un gruppo   si indica spesso con   oppure   o anche semplicemente come  .

NoteModifica

  1. ^ (EN) Vick, Homology Theory - An Introduction to Algebraic Topology (second edition), New York, Springer, 1994, p. 3.
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