Funzione costante

Il grafico di una funzione costante reale è una retta orizzontale

In matematica una funzione costante (a volte anche chiamata collasso) è una funzione i cui valori non variano, e rimangono quindi costanti al variare della variabile indipendente nel suo dominio.

Definizione

Una funzione $f\colon X\to Y$ tra due insiemi è costante se e solo se esiste un $y$ in $Y$ per cui $f(x)=y$ per ogni $x$ in $X$. La funzione $f$ assume cioè lo stesso valore $y$ su tutti gli $x$ in $X$.

Ad esempio, la funzione $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definita sui numeri reali data da $f(x)=4$ (indipendentemente da $x$) è costante.

In termini più astratti, una funzione $f\colon X\to Y$ è costante se e solo se vale la seguente proprietà universale:

• per ogni coppia di funzioni $g,h\colon Z\to X$, vale $f\circ g=f\circ h$, (dove "$\circ$" denota la composizione di funzioni).

Questa proprietà dice che la funzione costante è un morfismo costante nella categoria delle funzioni.

Proprietà

Funzione costante tra due insiemi

• La composizione di una qualsiasi funzione con una funzione costante è costante.
• Una funzione costante tra due insiemi, entrambi con almeno due punti, non è né iniettiva né suriettiva.
• Una funzione polinomiale da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ è costante se e solo se il polinomio ha grado zero.
• Se $I$ è un intervallo e $f\colon I\to \mathbb {R}$ è derivabile, è costante se e solo se ha derivata ovunque nulla.
• Ogni funzione costante fra spazi topologici è continua.

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