Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

Definizione modifica

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

 

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali  . Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

 

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come  .

Continuità e integrabilità modifica

La funzione di Dirichlet è una funzione che non è continua in nessun punto del dominioː poiché sia   sia l'insieme dei numeri irrazionali sono densi in  , ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie), e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla poiché l'insieme dei numeri razionali è numerabile, mentre gli irrazionali non lo sono) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo   è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione   sull'intervallo   vale  .

Altre proprietà modifica

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

 

La funzione   presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni   razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni   irrazionale.

Funzione di Dirichlet modificata modifica

  Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di Thomae.

Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

 

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo  , la funzione supera   solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di  : preso infatti un numero irrazionale   e fissato un valore positivo  , esiste sempre un intorno di   in cui  ; segue quindi che:

 

Bibliografia modifica

  • John Stillwell, Il teorema fondamentale del calcolo, in Claudio Bartocci e Piergiorgio Odifreddi (a cura di), La Matematica II - Problemi e teoremi, Torino, Einaudi, 2008, ISBN 978-88-06-16425-6.

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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