Teorema di approssimazione di Weierstrass

teorema matematico

In analisi matematica, il teorema di approssimazione di Weierstrass è un risultato che afferma che ogni funzione reale continua definita in un intervallo chiuso e limitato può essere approssimata a piacere con un polinomio di grado opportuno.

Questo è stato dimostrato da Karl Weierstraß nel 1885. Il teorema ha importanti risvolti sia teorici che pratici. Marshall Stone lo ha generalizzato nel 1937, allargando il dominio ad un certo tipo di spazio topologico e non limitandosi ai polinomi come funzioni approssimanti. Il risultato generale è noto come teorema di Stone-Weierstrass.

EnunciatoModifica

Data una funzione continua

 

definita sull'intervallo  , esiste una successione di polinomi

 

tale che

 

Il limite è da intendersi non solo puntualmente ma anche rispetto alla convergenza uniforme sul compatto  , ovvero con

 

Una conseguenza immediata di questo teorema è che i polinomi sono densi nello spazio delle funzioni continue  , che quindi risulta essere uno spazio separabile.

DimostrazioneModifica

Osservazioni preliminariModifica

Con la trasformazione biiettiva

 

il teorema può essere dimostrato, senza perdita di generalità, anche solo per funzioni che verificano la condizione

 

Estendendo f(x) su   ponendola uguale a zero al di fuori di [0,1] si ottiene una funzione uniformemente continua su tutto   (la funzione di partenza è uniformemente continua su [0,1] per il teorema di Heine-Cantor).

Definizione e proprietà dei polinomiModifica

Per ogni k numero naturale, i polinomi

 

sono non negativi e monotoni decrescenti in [0,1]. La funzione integrale

 

è monotona crescente in [0,1]. Vale la proprietà di normalizzazione:

 .

I polinomi che approssimano f(x) sono le funzioni

 .

Si può dimostrare che si tratta effettivamente di polinomi operando il cambio di variabile s = t + x all'interno del primo integrale ed utilizzando il teorema binomiale nell'intervallo [0,1] per calcolare i coefficienti.

Parte principaleModifica

Considerando la proprietà di normalizzazione e la disuguaglianza integrale abbiamo che, per ogni x :

 
 

Dalla definizione di continuità uniforme di f(x), fissato ε /2 > 0,

 .

In base al teorema di Weierstrass esiste il massimo

 .

Fatte queste considerazioni e tenendo presente la disuguaglianza triangolare, la   diventa:

 
 
 

Dato che 0 < δ < 1 , il secondo termine nel secondo membro dell'ultima equazione tende a zero per k che tende ad infinito, perciò è minore di ε /2 per k sufficientemente grande. In definitiva:

  ,

cioè

 .

Caso complessoModifica

Il teorema si può estendere a funzioni a valori complessi

 

continue. La dimostrazione è analoga al caso reale, tenendo presente, però, che gli integrali non sono quelli ordinari ma sui cammini e che al posto del valore assoluto nelle formule abbiamo la funzione modulo.

Enunciato del teorema tramite i concetti degli spazi normatiModifica

Usando la terminologia degli spazi normati, il teorema afferma che, con la norma uniforme

 ,

lo spazio funzionale   dei polinomi sull'intervallo [a,b] è denso nello spazio   delle funzioni continue su tale intervallo.

Nella dimostrazione proposta abbiamo che la disuguaglianza

 

vale per qualsiasi x, quindi in particolare vale per

  .

Perciò

 .

ConseguenzeModifica

Risvolti teoriciModifica

Una prima conseguenza è che lo spazio   è separabile perché   stesso è separabile, dato che contiene l'insieme denso e numerabile dei polinomi a coefficienti razionali

 .

Un'altra conseguenza è che è separabile qualsiasi insieme   in cui   è denso. Tra i tanti esempi di insiemi che verificano questa condizione, si può citare lo spazio L1 delle funzioni a modulo integrabile secondo Lebesgue in [a,b].

Risvolti praticiModifica

Nella maggior parte dei problemi pratici in cui bisogna valutare una funzione sconosciuta, si sa che la funzione in questione è continua (o lo si ipotizza). Il teorema ci assicura, quindi, che possiamo sempre costruire un algoritmo basato sull'interpolazione polinomiale per trovare una soluzione approssimata della funzione incognita con un grado di precisione arbitrario.

Il teorema di Stone-WeierstrassModifica

Sia   uno spazio topologico di Hausdorff compatto e   l'algebra delle funzioni continue a valori complessi ivi definite, con la topologia generata dalla norma uniforme. Questa è una C*-algebra dove lo *-operatore è rappresentato dal coniugio dei numeri complessi.

Sia   . Se   è una sottoalgebra involutiva di   (cioè se   è un sottospazio chiuso rispetto al prodotto e al coniugio in  ) che separa i punti di  , cioè se vale la condizione

  ,

allora la *-algebra generata dall'unità di   è densa in   .

La *-algebra in questione è un insieme   che contiene la funzione costante   e che, se  , contiene qualsiasi altra funzione ottenuta partendo da   e applicando un numero finito di volte le operazioni di addizione, moltiplicazione, coniugazione complessa o moltiplicazione per un numero complesso.

Il caso reale del teorema (   ) si ottiene come caso particolare di quello complesso, perché se una successione di funzioni complesse converge uniformemente ad   allora la successione delle parti reali delle stesse funzioni converge uniformemente alla parte reale di  .

Ulteriori generalizzazioniModifica

Esistono due ulteriori generalizzazioni del teorema.

Teorema di Stone-Weierstrass per i reticoli di funzioni continueModifica

La prima è la versione per reticoli del teorema di Stone-Weierstass.

Sia   uno spazio topologico di Hausdorff compatto costituito da almeno due punti e sia   un reticolo contenuto in   che verifica la condizione

  .

Allora   è denso in   .

Teorema di BishopModifica

La seconda è un teorema dovuto a Errett Bishop.

Sia   uno spazio topologico di Hausdorff compatto,   una sottoalgebra chiusa dello spazio di Banach   e   una funzione appartenente a   ;   indica una restrizione di   su un sottoinsieme  , mentre   indica lo spazio delle restrizioni su   di funzioni appartenenti ad   .
Sia   il sottoinsieme delle funzioni costanti reali. Consideriamo l'insieme

 

e chiamiamo   il sottoinsieme degli insiemi massimali di   secondo l'inclusione insiemistica. Se   verifica la condizione

 ,

allora   .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh94005265 · GND (DE4341745-0 · BNF (FRcb15014506g (data)
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