Teorema di approssimazione di Weierstrass

teorema matematico

In analisi matematica, il teorema di approssimazione di Weierstrass è un risultato che afferma che ogni funzione reale continua definita in un intervallo chiuso e limitato può essere approssimata a piacere con un polinomio di grado opportuno.

Questo è stato dimostrato da Karl Weierstraß nel 1885. Il teorema ha importanti risvolti sia teorici che pratici. Marshall Stone lo ha generalizzato nel 1937, allargando il dominio ad un certo tipo di spazio topologico e non limitandosi ai polinomi come funzioni approssimanti. Il risultato generale è noto come teorema di Stone-Weierstrass.

Enunciato

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Data una funzione continua

 

definita sull'intervallo  , esiste una successione di polinomi

 

tale che

 

Il limite è da intendersi non solo puntualmente ma anche rispetto alla convergenza uniforme sul compatto  , ossia con

 

Una conseguenza immediata di questo teorema è che i polinomi sono densi nello spazio delle funzioni continue  , che quindi risulta essere uno spazio separabile.

Dimostrazione

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Osservazioni preliminari

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Con la trasformazione biiettiva

 

il teorema può essere dimostrato, senza perdita di generalità, anche solo per funzioni che verificano la condizione

 

Estendendo   su   ponendola uguale a zero al di fuori di   si ottiene una funzione uniformemente continua su tutto   (la funzione di partenza è uniformemente continua su   per il teorema di Heine-Cantor).

Definizione e proprietà dei polinomi

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Per ogni   numero naturale, i polinomi

 

sono non negativi e monotoni decrescenti in   La funzione integrale

 

è monotona crescente in   Vale la proprietà di normalizzazione:

 

I polinomi che approssimano   sono le funzioni

 

Si può dimostrare che si tratta effettivamente di polinomi operando il cambio di variabile   all'interno del primo integrale ed utilizzando il teorema binomiale nell'intervallo   per calcolare i coefficienti.

Parte principale

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Considerando la proprietà di normalizzazione e la disuguaglianza integrale abbiamo che, per ogni  :

 
 

Dalla definizione di continuità uniforme di   fissato  

 

In base al teorema di Weierstrass esiste il massimo

 

Fatte queste considerazioni e tenendo presente la disuguaglianza triangolare, la   diventa:

 
 
 

Dato che   il secondo termine nel secondo membro dell'ultima equazione tende a zero per   che tende a infinito, perciò è minore di   per   sufficientemente grande. In definitiva:

 

cioè

 

Caso complesso

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Il teorema si può estendere a funzioni a valori complessi

 

continue. La dimostrazione è analoga al caso reale, tenendo presente, però, che gli integrali non sono quelli ordinari ma sui cammini e che al posto del valore assoluto nelle formule abbiamo la funzione modulo.

Enunciato del teorema tramite i concetti degli spazi normati

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Usando la terminologia degli spazi normati, il teorema afferma che, con la norma uniforme

 

lo spazio funzionale   dei polinomi sull'intervallo   è denso nello spazio   delle funzioni continue su tale intervallo.

Nella dimostrazione proposta abbiamo che la disuguaglianza

 

vale per qualsiasi   quindi in particolare vale per

 

Perciò

 

Conseguenze

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Risvolti teorici

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Una prima conseguenza è che lo spazio   è separabile perché   stesso è separabile, dato che contiene l'insieme denso e numerabile dei polinomi a coefficienti razionali

 

Un'altra conseguenza è che è separabile qualsiasi insieme   in cui   è denso. Tra i tanti esempi di insiemi che verificano questa condizione, si può citare lo spazio L1 delle funzioni a modulo integrabile secondo Lebesgue in  

Risvolti pratici

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Nella maggior parte dei problemi pratici in cui bisogna valutare una funzione sconosciuta, si sa che la funzione in questione è continua (o lo si ipotizza). Il teorema ci assicura, quindi, che possiamo sempre in linea di principio trovare un polinomio che approssima la funzione incognita con un grado di precisione arbitrario. Ovviamente altra cosa è determinare esplicitamente un algoritmo per calcolare questo polinomio.

Il teorema di Stone-Weierstrass

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Sia   uno spazio topologico di Hausdorff compatto e   l'algebra delle funzioni continue a valori complessi ivi definite, con la topologia generata dalla norma uniforme. Questa è una C*-algebra dove lo *-operatore è rappresentato dal coniugio dei numeri complessi.

Sia  . Se   è una sottoalgebra involutiva di   (cioè se   è un sottospazio chiuso rispetto al prodotto e al coniugio in  ) che separa i punti di  , cioè se vale la condizione

 

allora la *-algebra generata dall'unità di   è densa in  .

La *-algebra in questione è un insieme   che contiene la funzione costante   e che, se  , contiene qualsiasi altra funzione ottenuta partendo da   e applicando un numero finito di volte le operazioni di addizione, moltiplicazione, coniugazione complessa o moltiplicazione per un numero complesso.

Il caso reale del teorema ( ) si ottiene come caso particolare di quello complesso, perché se una successione di funzioni complesse converge uniformemente ad   allora la successione delle parti reali delle stesse funzioni converge uniformemente alla parte reale di  .

Ulteriori generalizzazioni

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Esistono due ulteriori generalizzazioni del teorema.

Teorema di Stone-Weierstrass per i reticoli di funzioni continue

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La prima è la versione per reticoli del teorema di Stone-Weierstass.

Sia   uno spazio topologico di Hausdorff compatto costituito da almeno due punti e sia   un reticolo contenuto in   che verifica la condizione

 

Allora   è denso in  .

Teorema di Bishop

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La seconda è un teorema dovuto a Errett Bishop.

Sia   uno spazio topologico di Hausdorff compatto,   una sottoalgebra chiusa dello spazio di Banach   e   una funzione appartenente a  ;   indica una restrizione di   su un sottoinsieme  , mentre   indica lo spazio delle restrizioni su   di funzioni appartenenti ad  .
Sia   il sottoinsieme delle funzioni costanti reali. Consideriamo l'insieme

 

e chiamiamo   il sottoinsieme degli insiemi massimali di   secondo l'inclusione insiemistica. Se   verifica la condizione

 

allora  .

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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