Iterazione di punto fisso

In analisi numerica, l'iterazione di punto fisso o iterazione funzionale è un metodo per trovare le radici di una funzione, ovvero per risolvere un'equazione nella forma .

Se sono due funzioni tali che , allora si ha se e solo se , cioè è radice di se e solo se è punto fisso di . Il metodo consiste nel risolvere l'equazione dove la generica espressione di è:

Si vede quindi che , ovvero la funzione di iterazione, può essere scelta in vari modi. Ad esempio se si può scegliere:

La soluzione si approssima (scelto un punto iniziale) con la successione:

ProprietàModifica

La convergenza del metodo è garantita sotto determinate ipotesi da alcuni risultati teorici.

In primo luogo, se esiste un intervallo   tale che:

  •  
  •  
  •  

allora   ha un unico punto fisso in   (è una contrazione) e se   la successione sopra definita converge ad esso linearmente.

Tuttavia non è sempre facile determinare un intervallo siffatto. Se però si conosce bene il comportamento di   nei pressi del punto fisso, si può sfruttare il teorema di Ostrowski. Se:

  •  , dove   è un intorno del punto fisso  
  •  

allora   tale che se   la successione converge ad  . Si noti che se la seconda ipotesi non è verificata, o c'è divergenza o non si può dir nulla (nel caso dell'uguaglianza). La velocità di convergenza aumenta con l'ordine di derivabilità.

Altri metodiModifica

Il metodo delle corde e quello di Newton si possono vedere come casi particolari dell'iterazione di punto fisso, usando come funzioni di iterazione rispettivamente:

 
 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica