Frattali per dimensione di Hausdorff

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In matematica, un frattale è un oggetto geometrico in cui la dimensione di Hausdorff (δ) è strettamente superiore alla dimensione topologica. Qui di seguito è presentata una lista di frattali per dimensione di Hausdorff crescente, con lo scopo di visualizzare che cosa significhi per un frattale possedere una dimensione bassa o alta.

Frattali deterministiciModifica

δ
(valore esatto)
δ
(valore approssimato)
Nome Illustrazione Commenti
    Biforcazioni dell'equazione logistica   Nel diagramma di biforcazione, all'avvicinarsi di ciascuna regione caotica, appare una successione di raddoppiamenti di periodo, in una progressione geometrica tendente a 1/δ. (δF=costante di Feigenbaum=4.6692).
    Insieme di Cantor   Costruito eliminando la terza parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, né numerabile.
    Insieme di Smith-Volterra-Cantor   Costruito eliminando la quarta parte centrale ad ogni iterazione. Insieme mai denso, ma avente misura di Lebesgue ½.
    Isola di Gosper  
  Attrattore di Hénon   L'attrattore di Hénon canonico (con parametri   and  ) possiede dimensione di Haussdorf δ = 1,261 ± 0,003. Parametri differenti conducono a differenti valori di δ.
    Curva di Koch   3 di queste curve formano il fiocco o l'antifiocco di Koch.
    Bordo della Curva Terdragon, Fudgeflake   L-System: simile alla curva del drago con un angolo di 30°. La Fudgeflake è costruita giustapponendo i 3 segmenti iniziali a formare un triangolo.
    Polvere di Cantor in 2D   Insieme di Cantor in due dimensioni .
  Setaccio di Apollonio  
    Scatola frattale   Costruito sostituendo iterativamente ciascun quadrato con una croce di 5 quadrati.
    Curva di Koch quadratica (tipo 1)   In esso ritroviamo il motivo della scatola frattale (vedi sopra), costruito diversamente.
    Curva di Koch quadratica (tipo 2)   Chiamata anche "Salsiccia di Minkowski".
  Bordo della Curva del Drago   Cf. Chang & Zhang[1]
    Albero a 3 rami    Ogni ramo si divide in altri 3 rami. (qui i casi a 90° e 60°). La dimensione frattale dell'intero albero è quella dei rami terminali. NB: l'albero a 2 rami possiede dimensione frattale 1.
    Triangolo di Sierpiński   Esso è anche il triangolo di Pascal modulo 2.
    Curva di Sierpinski a punta di freccia   Stesso limite del triangolo di Sierpinski (vedi sopra), ma ottenuto per iterazione di costruito con una curva unidimensionale.
    Triangolo di Tartaglia modulo 3   In generale, per un triangolo modulo k, se k è primo, la dimensione frattale è  (Cf.Stephen Wolfram[2])
    Triangolo di Tartaglia modulo 5   Come sopra.
    Fiocco esagonale   Costruito sostituendo iterativamente ogni esagono con un fiocco di 7 esagoni. Il suo bordo è il fiocco di Koch. Contiene infiniti fiocchi di Koch (bianchi e neri).
    Frattale H-I di Rivera Partendo da un quadrato unitario dividendo le sue dimensioni in tre parti uguali per formare nove quadrati autosimili con il primo quadrato, due quadrati centrali (quello che si trova sopra e quello sotto il quadrato centrale) vengono rimossi in ciascuno dei sette i quadrati non eliminati il processo viene ripetuto, quindi continua indefinitamente.
    Curva di Koch a 85°, Frattale di Cesàro   Generalizzazione della curva di Koch con un angolo a scelta tra 0 e 90°. La dimensione frattale è allora  . Il Frattale di Cesàro è basato su questo motivo.
    Fiocco pentagonale   Costruito sostituendo iterativamente ogni pentagono con un fiocco di 6 pentagoni. Qui   è il rapporto aureo.
    Tappeto di Sierpinski  
    Polvere di Cantor in 3D   Insieme di Cantor in 3 dimensioni.
Stimato   Bordo della Curva di Lévy   Stimato da Duvall and Keesling (1999). La curva di per sé possiede dimensione frattale 2.[non chiaro]
  Tassellatura di Penrose   Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[3]
    Insieme di Mandelbrot   Qualsiasi oggetto piano contenente un disco possiede dimensione di Hausdorff δ = 2. Il bordo dell'insieme di Mandelbrot possiede ugualmente dimensione di Hausdorff δ = 2.
    Curva di Sierpiński   Ogni curva che riempie il piano possiede dimensione di Hausdorff 2.
    Curva di Hilbert   Costruita in maniera simile: la curva di Moore
    Curva di Peano   E una famiglia di curve costruite in maniera simile, come per esempio le curve di Wunderlich o le curve di Moore.
  Lebesgue curve or z-order curve   Contrariamente alle curve precedenti, questa è quasi ovunque differenziabile.
    Curva del Drago   Il suo bordo possiede dimensione frattale 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[1]).
  Curva Terdragon   L-System : F-> F+F-F. angolo=120°.
    T-Square  
    Curva di Peano-Gosper   Il suo bordo è l'Isola di Gosper.
    Tetraedro di Sierpinski  
    H-fractal   Ugualmente, l'albero di Mandelbrot, che ha una struttura simile.
    2D greek cross fractal Ogni segmento è sostituito da una croce formata da 4 segmenti.
  Attrattore di Lorenz   Per precisi valori dei parametri dell'attrattore.
    Dodecaedro frattale   Ogni dodecaedro è sostituito da 20 dodecaedri. Qui   è il rapporto aureo.
    Superficie di Koch quadratica (tipo 1) in 3D   Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica (tipo 1). L'illustrazione mostra la seconda iterazione.
  Interstizi delle sfere di Apollonio   Setaccio di Apollonio in 3 dimensioni. Imita la mollica di pane o la spugna. Dimensione calcolata da M. Borkovec, W. De Paris, and R. Peikert[4].
    Superficie di Koch quadratica (tipo 2) in 3D   Estensione tridimensionale della curva di Koch quadratica(tipo 2). L'illustrazione mostra la prima iterazione.
    Ipercubo di Cantor Insieme di Cantor in 4 dimensioni. In generale, in uno spazio di dimensione n, l'insieme di Cantor possiede dimensione di Hausdorff  
    Icosaedro frattale   Ogni icosaedro è sostituito da 12 icosaedri. Qui   è il rapporto aureo.
    Frattale a croce greca in 3D   Ogni segmento è sostituito con una croce formata da 6 segmenti. Estensione tridimensionale della croce in due dimensioni.
    Ottaedro frattale   Ogni ottaedro è sostituito da 6 ottaedri.
    Spugna di Menger   La sua superficie possiede dimensione frattale  .
    Curva di Hilbert in 3D   Estensione tridimensionale della curva di Hilbert.

Frattali casuali e naturaliModifica

δ
(valore esatto)
δ
(valore approssimato)
Nome Illustrazione Commenti
Misurato   Costa della Gran Bretagna  
    Bordo del moto browniano   (Cf Gregory Lawler, Oden Schramm et Wendelin Werner[5]).
    Polimero 2D Simile al moto browniano in 2D senza auto-intersezioni. (Cf Sapoval[6]).
Misurato   Costa della Norvegia  
Misurato   Camminata casuale senza intersezioni   Camminata casuale all'interno di un quadrato, con algoritmo di "ritorno" per evitare vicoli ciechi.
    Polimero 3D Simile al moto browniano all'interno di un cubo, ma senza auto-intersezioni (Cf Sapoval[6]).
    Moto browniano   O camminata casuale. Le dimensioni di Hausdorff sono uguali a 2 in 2D, in 3D e in tutte le altre dimensioni (K.Falconer "The geometry of fractal sets").
    Cavolfiore   Ogni ramo porta 13 rami 3 volte più piccoli.
  Superficie polmonare   Gli alveoli di un polmone formano una superficie frattale di dimensione vicina a 3 (Cf Sapoval[6]).

NoteModifica

  1. ^ a b Dimensione frattale della curva del drago
  2. ^ Stephen Wolfram, Geometry of Binomial Coefficients (1984), su stephenwolfram.com. URL consultato il 29 dicembre 2006 (archiviato dall'url originale il 15 ottobre 2012).
  3. ^ P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, On the fractal nature of Penrose tiling [1] (PDF)
  4. ^ M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, The Fractal Dimension of the Apollonian Sphere Packing [2] (PDF)
  5. ^ G. F. Lawler, O. Schramm, W. Werner, The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 [3] Archiviato il 28 settembre 2007 in Internet Archive. (PDF)
  6. ^ a b c Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, collection Champs (2001), ISBN 2080814664

BibliografiaModifica

  • 1Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)
  • Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (September 1982).
  • Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (August 1988)
  • Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
  • Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.

Voci correlateModifica

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