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Matrice identità

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In matematica, la matrice identità, anche detta matrice identica o matrice unità, è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi della diagonale principale sono costituiti dal numero 1, mentre i restanti elementi sono 0. Viene indicata con oppure con , dove è il numero di righe della matrice.

ProprietàModifica

  • La proprietà fondamentale di   è che:
 
per ogni matrice   e   per cui sono definite queste moltiplicazioni di matrici.
  • In particolare, la matrice identità è invertibile, essendo l'inversa di se stessa.
  • La i-esima colonna di una matrice identità è l'i-esimo vettore   della base canonica dello spazio euclideo  .
  • La matrice identità è diagonale, ed ha il solo autovalore 1.

NotazioniModifica

Usando la notazione applicata talvolta per descrivere in modo conciso le matrici diagonali, si può scrivere:

 

Si può anche scrivere con la notazione delta di Kronecker:

 

Anello delle matriciModifica

Dalla proprietà fondamentale segue che la matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione nell'anello di tutte le matrici   a valori in un campo fissato  .

Analogamente, è l'elemento neutro nel gruppo generale lineare   formato da tutte le matrici invertibili   a valori in  .

Trasformazioni lineariModifica

Sia   un campo. Ogni matrice quadrata   induce una trasformazione lineare dallo spazio vettoriale   in sé, definita nel modo seguente:

 

La matrice identità è così chiamata perché induce la funzione identità. Più in generale, la matrice identità è la matrice associata alla funzione identità da uno spazio vettoriale in sé, rispetto ad una qualsiasi base.

BibliografiaModifica

  • (EN) Akivis, M. A. and Goldberg, V. V. An Introduction to Linear Algebra and Tensors. New York: Dover, 1972.
  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 10, 1962.
  • (EN) Courant, R. and Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. 1. New York: Wiley, 1989.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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