Risoluzione all'identità

In matematica, la risoluzione all'identità è una formula che ha importanti risvolti pratici nell'algebra lineare e nell'analisi funzionale, in particolare nella risoluzione di problemi legati a spazi vettoriali dotati di una base ortonormale.

La relazioneModifica

Sia   un operatore autoaggiunto ed   un insieme di Borel. Detta   la funzione indicatrice di  , allora   è una proiezione autoaggiunta su  , e la risoluzione all'identità:

 

è una misura a valori di proiettore per  . Se   è ambientato in uno spazio di Hilbert  , la misura di   rispetto a   è l'operatore identità su  .

Adoperando la notazione di Dirac, in cui   rappresentano vettori in   e   covettori (cioè funzionali lineari) nello spazio duale  , è possibile rappresentare ogni vettore   nella forma:

 

dove l'insieme di vettori   è una base ortonormale di tale spazio rispetto al prodotto hermitiano   definito su  . La normalizzazione è data da:[1]

 

In particolare, essendo la base ortonormale, si ha che:

 

dove   è la delta di Kronecker. La risoluzione all'identità è data dalla relazione di completezza:

 

dove   è l'identità su   di dimensione  .

In uno spazio di Hilbert allargato, di dimensione infinita (e non numerabile), si scrive:

 

dove l'integrale è esteso su tutto l'insieme di variabilità delle  .

DimostrazioneModifica

Per la linearità del prodotto hermitiano, dato un qualunque vettore:

 

vale la proprietà:

 

Si può dunque scrivere l'identità:

 

da cui discende

 

dove   è la funzione nulla su  , cioè la tesi.

NoteModifica

  1. ^ Per la sesquilinearità del prodotto hermitiano, il numero   è reale per ogni vettore  .

BibliografiaModifica

  • F. Riesz, B. Szökefalvi-Nagy, Functional analysis , F. Ungar (1955)
  • N.I. Akhiezer, I.M. Glazman, Theory of linear operators in a Hilbert space , 1–2 , F. Ungar (1961–1963)
  • L.V. Kantorovich, G.P. Akilov, Functional analysis in normed spaces , Pergamon (1964)

Voci correlateModifica

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