Continuità assoluta
In matematica, il concetto di continuità assoluta si applica a due concetti distinti.
Continuità assoluta delle funzioni reali
modificaIn matematica, una funzione a valori reali di una variabile reale è assolutamente continua se per ogni numero positivo piccolo a piacere esiste un numero positivo tale che per ogni successione (finita o infinita) di sotto-intervalli del dominio della funzione tali che:
che verificano:
si ha:[1]
Ogni funzione assolutamente continua risulta a variazione limitata e uniformemente continua e, di conseguenza, continua. Il viceversa non è necessariamente vero: la funzione di Cantor, ad esempio, è continua in tutto il suo dominio, ma non è assolutamente continua. Ogni funzione lipschitziana è assolutamente continua, mentre non è vero il viceversa: per è assolutamente continua, ma non lipschitziana.
Teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue
modificaDato per ipotesi che una funzione sia a variazione limitata, l'assoluta continuità è condizione necessaria e sufficiente alla validità del teorema fondamentale del calcolo integrale.
Una funzione definita sull'intervallo compatto a valori in è assolutamente continua se possiede una derivata definita quasi ovunque e integrabile secondo Lebesgue tale che:
In modo equivalente, esiste una funzione su integrabile secondo Lebesgue tale che:
Tale definizione di assoluta continuità è detta teorema fondamentale del calcolo integrale di Lebesgue. Se le precedenti condizioni equivalenti sono verificate si ha:
quasi ovunque.
Generalizzazioni
modificaSia uno spazio metrico e un intervallo. Una funzione è assolutamente continua su se per ogni numero positivo esiste un numero positivo tale che, se una sequenza finita di sotto-intervalli mutuamente disgiunti di soddisfa:
allora:
L'insieme delle funzioni assolutamente continue da a è denotato con .
Un'ulteriore generalizzazione è lo spazio delle curve tali che:
per qualche nello spazio .
Continuità assoluta delle misure
modificaSe e sono misure sulla stessa sigma-algebra, la misura si dice assolutamente continua rispetto a se per ogni insieme per il quale . Questa situazione viene presentata con la scrittura .[2]
In modo equivalente, se è una misura finita, per ogni esiste tale che:
per ogni insieme della sigma-algebra tale che:[3]
Proprietà
modificaSe esiste un insieme tale per cui:
per ogni insieme della sigma-algebra, allora tale misura si dice concentrata su .
Misure concentrate su insiemi rispettivamente disgiunti sono dette mutuamente singolari. In particolare, se e sono mutuamente singolari si scrive .
Un teorema di particolare importanza nell'ambito della continuità assoluta delle misure afferma che se e sono due misure limitate, allora esiste un'unica coppia di misure positive tali che:
La decomposizione:
è detta decomposizione di Lebesgue di relativamente a , ed è unica.[4]
Il teorema di Radon-Nikodym afferma inoltre che esiste un'unica funzione tale che:
per ogni insieme della sigma-algebra. Il teorema stabilisce, in particolare, che esiste una funzione misurabile a valori in , denotata con:
tale che per ogni insieme misurabile A si ha:
La funzione si dice derivata di Radon-Nikodym di rispetto .
Collegamento fra continuità assoluta delle funzioni reali e delle misure
modificaUna misura sui sottoinsiemi di Borel della retta reale è assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se e solo se la funzione:
è una funzione reale assolutamente continua.
Note
modificaBibliografia
modifica- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Continuità assoluta, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) A.P. Terekhin, V.F. Emel'yanov, L.D. Kudryavtsev, V.V. Sazonov, Absolute continuity, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.