Teorema di Radon-Nikodym

teorema dell'analisi funzionale e della teoria della misura

In matematica, in particolare in teoria della misura, il teorema di Radon-Nikodym è un risultato di notevole importanza nell'ambito delle misure assolutamente continue.

Il teorema è di particolare importanza nella teoria della probabilità, in quanto estende l'idea di misure discrete e misure continue di probabilità attraverso il concetto di misura di probabilità su un insieme arbitrario. Tra le applicazioni del teorema vi è inoltre la matematica finanziaria, che lo utilizza nel prezzamento dei derivati.

Il teoremaModifica

Il teorema di Radon–Nikodym afferma che se una misura   su uno spazio misurabile   è assolutamente continua rispetto ad una misura   sigma-finita sullo stesso spazio, allora esiste una funzione misurabile   definita su   a valori non negativi tale che:[1]

 

per ogni insieme  .

Il teorema è stato dimostrato da Johann Radon nel 1913 nel caso   e generalizzato da Otto Nikodym nel 1930.

La funzione   si dice derivata di Radon-Nikodym di   rispetto   e si indica con  .

Proprietà della derivata di Radon-NikodymModifica

La derivata di Radon-Nikodym gode delle seguenti proprietà:

  • Se   e   allora:
 
  • Se   allora:
 
  • Se g è una funzione  -integrabile su X e  , con   allora:
 
 

DimostrazioneModifica

La dimostrazione riportata nel seguito si svolge nell'ambito della teoria della misura. Esiste un'altra dimostrazione, dovuta a John von Neumann, ambientata in spazi di Hilbert.

Misure finiteModifica

Per mostrare l'esistenza della derivata di Radon-Nikodym, siano   e   misure finite non negative, e sia   l'insieme delle funzioni misurabili   che soddisfano:

 

L'insieme   non è vuoto, poiché contiene almeno la funzione nulla. Siano  ,   un insieme misurabile e:

 

Allora si ha:

 

e dunque  .

Sia ora   una successione di funzioni in   tali che:

 

Sostituendo   con il max delle prime n funzioni si può assumere che la successione   è crescente. Sia   la funzione definita come:

 

Per mostrare che   è la funzione cercata, cioè che il suo integrale su   rispetto a   vale esattamente  , si nota che dal teorema della convergenza monotona per l'integrale di Lebesgue:

 

e quindi  . Inoltre, dalla costruzione di   segue:

 

Dato che   succede che la scrittura:

 

definisce una misura non negativa su  . Supponendo quindi per assurdo  , dato che   è finita c'è un   tale che  . Sia allora   la decomposizione di Hahn per la misura con segno  . Per ogni   si ha:

 

e quindi:

 

dove   è la funzione indicatrice relativa all'insieme  .[2] Essendo che:

 

la funzione   e soddisfa:

 

ma questo è impossibile, e quindi l'assunzione iniziale che   deve essere falsa.

Dato che   è μ-integrabile, l'insieme   è μ-nullo. Quindi   è definita come:

 

e possiede le proprietà richieste.

Come per l'esistenza, siano   due funzioni misurabili che soddisfano:

 

per ogni insieme misurabile  . Quindi   è integrabile rispetto a   e:

 

In particolare, questo succede per   o  . Segue che:

 

sicché   quasi ovunque. Accade lo stesso per  , e così   quasi ovunque.

Misure positive σ-finiteModifica

Se   e   sono σ-finite, allora   può essere scritto come l'unione di una successione   di insiemi disgiunti in  , ognuno dei quali ha misura finita sia rispetto a   che  . Per ogni n esiste una funzione  -misurabile   tale che:

 

per ogni sottoinsieme   che è  -misurabile. L'unione   di tali funzioni è la funzione richiesta. Come per l'unicità, dato che ogni   è unica quasi ovunque (relativamente a  ), lo è anche  .

Misure con segno e complesseModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Misura con segno e Misura complessa.

Se   è una misura σ-finita con segno, si può utilizzare la decomposizione di Hahn–Jordan   dove una delle due misure è finita. Applicando i precedenti risultati si ottengono due funzioni   che soddisfano il teorema di Radon–Nikodym per   e   rispettivamente, di cui almeno una è μ-integrabile. La funzione   soddisfa le proprietà richieste, compresa l'unicità in quanto sia   che   sono uniche quasi ovunque.

Se   è complessa, può essere decomposta come  , dove sia   che   sono misure finite con segno. Procedendo come sopra, si ottengono due funzioni   che soddisfano le proprietà richieste per   e   rispettivamente. La funzione cercata è dunque  .

NoteModifica

  1. ^ W. Rudin, Pag. 122.
  2. ^ Si nota che  ; se fosse nulla, poiché   è assolutamente continua rispetto a   si avrebbe  , quindi   e:
     
    contraddicendo il fatto che  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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