Dipolo elettrico

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Un dipolo elettrico, in elettrostatica, è un sistema composto da due cariche elettriche uguali e opposte di segno e separate da una distanza costante nel tempo.[1] È uno dei più semplici sistemi di cariche che si possano studiare e rappresenta l'approssimazione basilare del campo elettrico generato da un insieme di cariche globalmente neutro, trattandosi del primo termine dello sviluppo in multipoli di quest'ultimo.

Linee di forza del campo elettrico generato da un dipolo elettrico. Il dipolo consiste di due cariche puntiformi di polarità opposta poste vicine: viene mostrata la trasformazione da dipolo di estensione finita a dipolo puntiforme.
Un dipolo

Momento elettricoModifica

Dato un sistema di cariche, il momento elettrico, o momento di dipolo, è una grandezza vettoriale che quantifica la separazione tra le cariche positive e negative, ovvero la polarità del sistema, e si misura in Coulomb per metro.

Date due cariche di segno opposto e uguale modulo  , il momento elettrico   è definito come:[1]

 

dove   è il vettore spostamento dell'uno rispetto all'altro, orientato dalla carica negativa alla carica positiva e per il quale deve valere:

 

Questa notazione significa che la derivata del vettore   rispetto al tempo deve essere nulla, cioè il vettore   si mantiene costante (in modulo, direzione e verso) nel tempo. Nel caso di una distribuzione continua di carica che occupa un volume  , l'espressione per il momento elettrico è:

 

dove   è il vettore che individua l'elemento infinitesimo di volume   in   e   è la densità volumetrica della distribuzione continua di carica.

Per una distribuzione discreta di carica, la densità di carica viene descritta attraverso la delta di Dirac:

 

dove   è la posizione della carica  , ed integrando sul volume si ha:

 

Al momento di dipolo elettrico si associa un momento meccanico   calcolato come:

 

Il momento meccanico legato al momento di dipolo elettrico è un caso unico di momento meccanico sempre esclusivamente flettente.

Potenziale elettricoModifica

 
Schematizzazione del potenziale elettrico generato da un dipolo orientato orizzontalmente.
 Lo stesso argomento in dettaglio: Potenziale elettrico.

In un punto situato a grande distanza dal centro del dipolo (grande, va inteso, rispetto all'estensione fisica d del dipolo stesso), il potenziale elettrostatico generato dal dipolo è molto ben approssimato dalla seguente formula:

 
dove:
  •   è il vettore momento dipolo (secondo la definizione  );
  •   è il vettore che identifica il generico punto P nello spazio rispetto al punto medio del dipolo (con   ovvero  ) ;
  •   è la permittività elettrica del mezzo (questa equazione vale anche in un mezzo diverso dal vuoto).

Da tale formula risulta evidente che il valore del potenziale elettrostatico nel punto P dipende dai vettori   (momento di dipolo) e   (posizione del punto P rispetto al punto medio tra le due cariche) e quindi anche dal loro rispettivo orientamento.

In particolare il potenziale:

  • diminuisce con l'inverso del quadrato della distanza del punto P dal centro del dipolo;
  • è nullo sul piano perpendicolare al dipolo ( ) e passante per il suo centro;
  • a parità di distanza, è massimo (in valore assoluto) lungo la direzione di   (quindi quando   è parallelo a   ovvero quando  );

Le considerazioni riguardanti il dipolo valgono formalmente sia nel vuoto che in presenza di materia quando  .

Derivazione della formula del potenziale del dipoloModifica

Il potenziale elettrostatico generato da una distribuzione discreta di N cariche puntiformi è dato da:

 
dove:
  •   identifica un generico punto P nello spazio rispetto all'origine O;
  •   è il vettore che identifica la posizione della i-esima carica rispetto all'origine O;
  •   è il valore della i-esima carica;
  •   è la permittività elettrica del mezzo (questa equazione vale anche in un mezzo diverso dal vuoto).

Da tale formula generale è possibile ricavare il caso particolare del potenziale generato da un dipolo ovvero da un sistema di due (N=2) cariche uguali in valore assoluto ma di segno opposto (  e  , con  ) le cui posizioni nello spazio siano identificate rispettivamente da   e  . Il vettore distanza tra le due cariche sarà quindi dato da  e, di conseguenza, il vettore momento di dipolo  . Con tali posizioni, si ottiene quindi che in un generico punto P identificato da  , il potenziale è dato dalla sovrapposizione dei potenziali (e quindi dalla loro somma) delle singole cariche:

 

Definendo il vettore   che identifica la posizione del centro del dipolo (ovvero il punto medio tra le 2 cariche) e servendosi della definizione di  , è possibile riscrivere i vettori   e   rispettivamente come:

  e  

Da qui

 

Senza perdere di generalità, per comodità si fissa l'origine degli assi nel centro del dipolo  , ponendolo quindi convenzionalmente a  . In virtù di tale scelta, la posizione delle cariche risulteranno quindi rispettivamente   e   (mantenendosi comunque sempre consistenti con la definizione per cui  ) e ora  , che continua a rappresentare la posizione del punto P rispetto all'origine, identifica anche la sua posizione rispetto al centro del dipolo.

 

Ora, ponendosi a grande distanza dal dipolo (ovvero scegliendo  ), per il denominatore, si avrà che :

 

Mentre per il numeratore, denominando   l'angolo tra il vettore   e il vettore   (e di conseguenza anche tra   e  ), si ottiene che

 

Considerando che secondo lo sviluppo di Taylor troncato al prim'ordine, ovvero trascurando i termini di ordine  , vale l'approssimazione  , al numeratore si avrà  

Si ottiene quindi finalmente l'attesa espressione per il potenziale di dipolo:

 

dove si è contratta la notazione avvalendosi del prodotto scalare:

 

Campo elettricoModifica

Ricordando la conservatività del campo elettrostatico tramite:

 

possiamo ricavare il campo elettrico in coordinate polari sferiche oppure in coordinate cartesiane (il dipolo è orientato secondo l'asse z):[2]

 

con intensità pari a:

 .

Si può ancora scrivere il campo come gradiente del prodotto tra il momento elettrico e il versore della distanza ridotto del quadrato della stessa. Il calcolo di tale quantità porta alla seguente espressione, più compatta:

 

Energia potenziale elettrostaticaModifica

Se un dipolo è sottoposto a forze in un campo elettrico esterno qualunque, l'energia potenziale elettrostatica del dipolo è data dalla differenza di potenziale tra le due cariche, supposte come al solito molto vicine:[3]

 

dove   e   è il momento elettrico del dipolo. Esplicitando il prodotto scalare:

 

con   che rappresenta l'angolo compreso tra i due vettori.

 
Forze agenti su un dipolo elettrico immerso in un campo elettrico esterno

DinamicaModifica

Il lavoro della coppia elettrica vale:

 

D'altro canto, differenziando l'energia del dipolo:

 

dove si è fatto uso della derivata direzionale poiché per definizione l'energia potenziale appartiene alla prima classe di continuità. A questo punto si possono confrontare le due espressioni precedenti in particolare per il campo elettrico e, tenendo presente che il gradiente agisce solo sulle coordinate x,y,z e la dipendenza da   è contenuta solo nel prodotto scalare:[4]

 

Siano, ora, due dipoli   e   che formano con la loro congiungente un angolo rispettivamente di   e  . L'energia potenziale elettrica sarà

 

dove   è l'azimut di   rispetto al piano  - .

Radiazione di dipolo oscillanteModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Radiazione di dipolo elettrico.

Un dipolo elettrico oscillante è un dipolo che ha polarizzazione elettrica dipendente periodicamente dal tempo, che può essere descritto da serie di Fourier formate da fattori della forma:

 

dove   è la frequenza angolare. Nel vuoto i campi prodotti sono:

 
 

In una posizione distante dal dipolo, per  , i campi tendono a formare un'onda sferica nella configurazione limite:

 

che produce una potenza totale, mediata nel tempo, data da:

 

L'energia associata alla radiazione emessa non viene distribuita in modo isotropo, essendo concentrata intorno alla direzione perpendicolare al momento di dipolo, e tale equazione viene spesso descritta tramite l'utilizzo delle armoniche sferiche.

Il campo elettromagnetico associato al dipolo oscillante è alla base di numerose applicazioni tecnologiche, a partire dall'antenna a dipolo.

MolecoleModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Dipolo molecolare.

In chimica il momento elettrico di una molecola si riferisce alla somma vettoriale di tutti i momenti di legame presenti nella molecola stessa. Una molecola non polare possiede momento elettrico uguale a zero: questo è il caso, ad esempio, del metano o del biossido di carbonio le cui strutture geometriche (rispettivamente tetraedrica e lineare) annullano l'effetto dei singoli momenti dipolari di legame (il risultante è nullo). Legami omogenei, come quelli tra due atomi di cloro per formare una molecola Cl2, non sono polari, essendo la differenza di elettronegatività nulla, e quindi non originano un momento elettrico. Comunemente si orienta il vettore momento elettrico delle entità chimiche con il verso rivolto verso la carica negativa, che corrisponde all'elemento più elettronegativo.

NoteModifica

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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