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Identità trigonometrica

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Un'identità trigonometrica è un'identità matematica che coinvolge le funzioni trigonometriche.

Le identità trigonometriche sono utilizzate per semplificare molte espressioni contenenti funzioni trigonometriche (come, ad esempio, nella risoluzione di equazioni trigonometriche) e per il calcolo di molti integrali; talvolta, anche integrali di funzioni non trigonometriche possono essere calcolati mediante opportuni cambiamenti di variabile che utilizzano una funzione trigonometrica per portare a decisive semplificazioni.

Notazioni: Per denotare la funzione inversa del seno talora si usa ; qui preferiamo usare e scrivere per denotare la inversa moltiplicativa della funzione seno.

DefinizioniModifica

Si definiscono le seguenti funzioni trigonometriche:

 
 

Periodicità, simmetria e traslazioniModifica

Queste formule si ricavano facilmente dalle definizioni sulla circonferenza trigonometrica.

 
 
 
 
 

Molti modelli fisici si basano sul fatto che qualsiasi combinazione lineare d'onde sinusoidali con lo stesso periodo ma di differenti fasi è ancora un'onda sinusoidale dello stesso periodo, ma con una nuova fase. Precisamente:

 

dove

 

Conseguenze del teorema di PitagoraModifica

 
 
 

Formule di addizione e sottrazioneModifica

La scoperta delle prime due identità (dalle quali seguono anche le altre) risale a Tolomeo[1] ma per fornire una dimostrazione più veloce è possibile utilizzare le formule di Eulero attraverso la funzione  . Una dimostrazione geometrica dell'identità per   è data alla fine di questa voce.

 
 
 
 
 
 

dove

 

Formula di duplicazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Formule di duplicazione.

Queste possono essere ottenute sostituendo   nei teoremi di addizione, e utilizzando il teorema di Pitagora per le ultime due. Ancor meglio utilizzare la formula di De Moivre con  .

 
 
 
 

Formule per gli angoli multipliModifica

Se denotiamo   l' -esimo polinomio di Chebyshev, allora

 

Formula di De Moivre:

 

Il nucleo di Dirichlet   è la funzione che si trova da entrambe le parti della seguente identità:

 

La convoluzione di ogni funzione quadrato sommabile periodica di periodo   con il nucleo di Dirichlet coincide con la somma troncata di ordine   della sua serie di Fourier.

Formule di riduzione della potenzaModifica

Dalla formula di duplicazione del coseno e dalla formula trigonometrica di Pitagora si ottiene

 
 

Formule di bisezioneModifica

Sostituendo   al posto di   nelle formule di riduzione della potenza, e calcolando   e   si ottiene.

 
 

Da queste ultime due identità, dividendo membro a membro la seconda per la prima, si ottiene:

 

Tuttavia, è possibile giungere a due espressioni per   senza il valore assoluto, che sono le seguenti:

 
Dimostrazione

Moltiplicare   per   e sostituire   al posto di  . Il numeratore è  , per la formula di duplicazione, e il denominatore è  , che è   per le formule di duplicazione. La seconda espressione, all'ultimo membro, si ottiene facilmente dalla precedente moltiplicando numeratore e denominatore per  , dopo di che al denominatore compare   ossia  , per cui è sufficiente semplificare   al numeratore e al denominatore.

Posto  , seguono le cosiddette formule parametriche:

       ,       e    

La sostituzione di   per  , con il conseguente cambiamento di   con   e di   con   è spesso in grado di convertire funzioni razionali in   e   da integrare in funzioni di   integrabili (si veda anche il successivo "punto di vista astratto").

Prodotti espressi mediante sommeModifica

Queste formule possono essere provate sviluppando la loro parte destra e semplificando con le formule di addizione. Sono anche dette formule di Werner.

 
 
 

Somme espresse mediante prodottiModifica

Basta rimpiazzare   con   e   con   nelle espressioni dei prodotti mediante somme. Sono anche dette formule di prostaferesi.

 
 
 
 

Funzioni trigonometriche inverseModifica

 
 
 
 
 
 
 
 

Funzione gudermannianaModifica

La funzione gudermanniana è definita nel seguente modo:

 

Questa funzione stabilisce un collegamento tra le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche senza ricorrere ai numeri complessi (si veda la voce relativa per i dettagli).

Identità per angoli costantiModifica

La seguente curiosa identità è stata appresa da Richard Feynman quando era ragazzino:

 

Si tratta di un caso particolare della seguente identità in cui compare una variabile:

 

Altre identità senza variabili:

 
 
 

La misura in gradi degli angoli risulta meno vantaggiosa di quella in radianti per una   con   al denominatore:

 

I fattori   inducono a pensare agli interi inferiori a   primi con  . Gli ultimi esempi sono le conseguenze di un risultato di base sui polinomi ciclotomici irribucibili: i coseni sono le parti reali delle radici di questi polinomi; la somma degli zeri dà il valore della funzione di Möbius valutata in  ; solo la metà delle radici sono presentate nella relazione precedente. Le due identità che precedono quest'ultima nascono nello stesso modo relativamente ai casi   e  , rispettivamente.

La seguente identità senza variabili può essere utilizzata per calcolare   efficientemente:

 

oppure usando la formula di Eulero:

 

Calcolo infinitesimaleModifica

Nel calcolo infinitesimale è essenziale che gli angoli argomenti di funzioni trigonometriche siano misurati in radianti; se sono misurati in gradi o in altre unità di misura, allora le relazioni riportate qui sotto risultano false. A partire dalle definizioni geometriche delle funzioni trigonometriche si ricavano le loro derivate dopo aver stabiliti i due limiti che seguono.

 

(si verifica osservando la circonferenza trigonometrica e il teorema del confronto). Osserviamo che se usassimo la regola di de L'Hôpital per stabilire questo limite creeremmo un circolo vizioso sul piano logico, in quanto da questo limite si ricavano le derivate di seno e coseno necessarie per applicare la suddetta regola.

 

(Si verifica usando l'identità  .)

Avendo stabilito questi due limiti, si stabilisce che   e  . riconducendo la derivazione alla sua definizione come limite di rapporto incrementale.

Se le funzioni seno e coseno sono definite dalle loro serie di Taylor, le loro derivate possono essere ottenute derivando le serie di potenze termine a termine.

 

Le derivate delle altre funzioni trigonometriche sono ricavate dalle precedenti con le regole di derivazione. Abbiamo quindi:

 
 
 
 
 
 
 
 

Le identità integrali possono essere trovate nella tavole di integrali.

Dimostrazioni usando un'equazione differenzialeModifica

Si consideri l'equazione differenziale:

 

Utilizzando la formula di Eulero e il metodo di risoluzione delle equazioni differenziali lineari, insieme al teorema di unicità e al teorema di esistenza possiamo definire seno e coseno nei modi seguenti

  è l'unica soluzione della equazione

  soggetta alle condizioni iniziali   e  

  è l'unica soluzione della equazione

  sotto le conditioni iniziali   e  

Dimostriamo che

 

Introduciamo   e troviamo le sue derivate prima e seconda:

  allora   è una soluzione di   possiamo dire che  ; perciò  

Quindi

 
 

Dunque possiamo dire che

 

Utilizziamo ancora le tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali lineari e la formula di Eulero la soluzione di   deve essere una combinazione lineare di   e  , quindi

 

Si trova   ponendo   al posto di  

 

Per le condizioni iniziali  , quindi

 

Risolvendo per   abbiamo la derivata di   e ponendo   al posto di  

 
 

Utilizzando le condizioni iniziali e dato che  

 
 

Sostituendo   e   nell'equazione originale di   abbiamo

 

ma dato che   è definita come   abbiamo

 

o

 

Usando queste definizioni di seno e coseno, si possono provare tutte le altre proprietà di seno e coseno utilizzando le stesse tecniche.

Dimostrazioni geometricheModifica

Formula di addizione del senoModifica

Come mostrato in figura si costruisce il segmento   perpendicolare ad   ed il segmento   parallelo ad  .
  = Angolo   = Angolo   = Angolo  .
  =  .

Allora

 

Formula di addizione del cosenoModifica

Osservando la figura precedente:
 

Punti di vista astrattiModifica

Dato che la circonferenza è una curva algebrica di genere  , ci si aspetta che le funzioni circolari possano essere riducibili a funzioni razionali. In effetti è noto classicamente che usando sistematicamente le formule di bisezione per la tangente si possono esprimere le funzioni seno e coseno in termini di una nuova variabile  .

NoteModifica

Voci correlateModifica

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