Omologia (geometria)

termine geometrico
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In geometria descrittiva l'omologia è una trasformazione del piano ottenuta come composizione di due proiezioni centrali nello spazio. In altri termini, è la relazione di corrispondenza biunivoca originata da due proiezioni di un piano su un altro.

Un'omologia di asse u e centro U che trasforma il triangolo ABC nel triangolo omologo A'B'C'.

Due figure piane sono omologhe se esiste un'omologia che trasforma una nell'altra. Ad esempio le sezioni di due piramidi, o in generale di due coni, aventi la stessa base sono per definizione due figure omologhe.

ProprietàModifica

Essendo composizione di due proiezioni, l'omologia trasforma rette in rette.

Il fascio di piani passante per i due centri di proiezione (se distinti) interseca il piano dato in un fascio di rette, ognuna delle quali è mandata in se stessa dall'omologia. Il centro di questo fascio di rette, intersezione del piano con la retta passante per i due centri di proiezione, è un punto fisso dell'omologia detto centro.

La retta di intersezione del piano con il piano di proiezione è detta asse; ogni suo punto, essendo fissato da entrambe le proiezioni, è fissato anche dall'omologia.

Esistono dunque infinite omologie aventi centro ed asse fissati. L'immagine di un ulteriore punto determina invece univocamente l'omologia. Un'omologia è, di fatto, una doppia omografia su piani coincidenti (sovrapposti).

Costruzione sul pianoModifica

La costruzione geometrica che permette di trasformare una figura tramite omologia è detta genesi spaziale dell'omologia.

Fissati il centro U e l'asse u dell'omologia, nonché l'immagine A' di un punto A, è possibile determinare l'immagine B' di qualunque altro punto B con procedimenti geometrici. Per le proprietà dell'omologia, infatti, la retta per A e B e la retta per A' e B' si incontrano in un punto di u, mentre i punti U, B e B' sono allineati.

L'immagine B' di un punto B non appartenente alla retta per A e U può quindi essere ottenuta con il seguente procedimento:

  • si traccia la retta r per A e B,
  • si determina l'intersezione B'' tra le rette r e u,
  • si traccia la retta s per A' e B'',
  • si traccia la retta t per B e U,
  • si determina B' come intersezione di s e t.

Una volta note le immagini di due punti A e B non allineati con U è possibile costruire direttamente l'immagine di ogni altro punto del piano.

Alcune particolari omologieModifica

Se i due centri di proiezione coincidono, l'omologia ottenuta è l'identità sul piano.

Se l'asse dell'omologia è una retta impropria, ovvero se il piano di proiezione è parallelo al piano, l'omologia è un'omotetia avente come centro il centro dell'omologia. Se inoltre il centro dell'omologia è un punto improprio, ovvero se la retta passante per i due centri di proiezione è parallela al piano, l'omologia è una traslazione.

Voci correlateModifica

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