Operazione interna

In matematica, un'operazione interna ad n argomenti (o n-aria) su un insieme è una funzione che ad ogni n-upla di associa un elemento dello stesso .

DefinizioneModifica

Sia   un insieme non vuoto e sia  . Si chiama operazione interna su   una funzione   dal prodotto cartesiano   a valori in  :

 

Equivalentemente, sia  , si chiama operazione interna su   una funzione  :

 

se  .

Se  , l'operazione è detta operazione binaria interna su   e l'immagine della coppia di punti   si denota preferibilmente con la notazione di operazione   piuttosto che con la notazione funzionale  .

Un insieme non vuoto dotato di una sola operazione interna è detto avere struttura di magma o di gruppoide.

Il motivo principale per cui può essere necessario verificare che un'arbitraria operazione   sia o meno interna su un insieme   (pure arbitrario purché non vuoto) sta nel fatto che solo se l'operazione è interna la coppia   può essere considerata come struttura algebrica. Alternativamente, si può dire che condizione necessaria affinché una coppia   sia una struttura algebrica è che l'operazione   verifichi la proprietà di chiusura su  .

Operazione esternaModifica

Un'operazione non interna su un insieme   si dice operazione esterna.

EsempiModifica

Operazioni interneModifica

L'operazione di somma usualmente denotata con + è interna sull'insieme dei numeri naturali e così pure lo è sugli interi, sui razionali, sui reali ed anche sui complessi.

Analogamente, il prodotto è operazione interna su ciascuno degli stessi insiemi.

Le operazioni di massimo comun divisore e di minimo comune multiplo sono operazioni interne sull'insieme dei numeri naturali.

Le operazioni di unione ed intersezione sono interne sull'insieme delle parti di un insieme.

Il prodotto vettoriale è operazione interna sull'insieme delle terne di numeri reali:

 
 

Operazioni esterneModifica

Il prodotto scalare è una operazione esterna sull'insieme delle terne di numeri reali:

 
 

essa ha infatti valori nel campo reale su cui è definito lo spazio vettoriale   e non nello spazio vettoriale stesso.

Il prodotto di un vettore per uno scalare è ancora operazione esterna all'insieme delle terne di numeri reali:

 
 

in quanto se la si pensa come funzione

 

si ha che anche in questo caso gli insiemi  ,   e   non sono tutti e tre uguali.

Il prodotto misto:

 
 

è infine ancora un'operazione (ternaria) esterna su  .

BibliografiaModifica

  • Algebra, S. Mac Lane, G. Birkhoff, ed.: Mursia.

Voci correlateModifica

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