In matematica, e più specificamente in algebra lineare, il determinante di una matrice antisimmetrica può sempre essere scritto come il quadrato di un polinomio costruito a partire dagli elementi della matrice. Questo polinomio è chiamato lo Pfaffiano della matrice.

Lo Pfaffiano è nullo per le matrici antisimmetriche di ordine dispari, mentre per le matrici di ordine pari, cioè del tipo , è un polinomio di grado .

Il termine Pfaffiano è stato introdotto da Arthur Cayley, che lo usò nel 1852:The permutants of this class (from their connection with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term "Pfaffians". Il termine onora dunque la memoria del matematico tedesco Johann Friedrich Pfaff.

Definizione

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Sia   l'insieme delle partizioni in coppie non ordinate di  . Queste sono (usando la notazione del semifattoriale) esattamente  . Una partizione può essere scritta come:

 

con   e  . Associando ad   la permutazione:

 

sia   il suo segno. Sia inoltre   una matrice antisimmetrica  . Data una partizione  , si definisce il valore:

 

Si può definire lo Pfaffiano di   come:

 

Lo Pfaffiano di una matrice antisimmetrica  , con   dispari, è per definizione nullo.

Definizione ricorsiva

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Per convenzione lo Pfaffiano della matrice   è  . Lo Pfaffiano di una matrice   antisimmetrica   con   può essere calcolato ricorsivamente come

 

dove   indica la matrice   a cui sono state rimosse le righe e le colonne   ed  .

Definizione alternativa

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È possibile associare ad ogni matrice antisimmetrica   di dimensione   un bivettore:

 

dove   è la base usuale di  . Lo Pfaffiano è quindi definito come l'equazione:

 

dove   rappresenta il prodotto vettoriale di   con sé stesso n volte.

Identità

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Per una matrice antisimmetrica   di dimensione   ed una generica matrice   anch'essa di dimensione  , si ha:

  •  
  •  
  •  
  •  

Per una matrice diagonale a blocchi del tipo:

 

Si ha:

 

Per una matrice arbitraria   denotata con  :

 

Se   dipende da qualche variabile   allora il gradiente dello Pfaffiano è dato da:

 

mentre l'hessiana di uno Pfaffiano è data da:

 

Applicazioni

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Lo Pfaffiano è un polinomio invariante per congruenza delle matrici antisimmetriche (se rappresenta una applicazione lineare, non è invariante rispetto ad un generale cambio di base ma lo è per una trasformazione ortogonale). Come tale, svolge un ruolo importante nella teoria delle classi caratteristiche. In particolare, può essere usato per definire la classe di Eulero di una superficie di Riemann, usata nel Teorema generalizzato di Gauss-Bonet

 
 
 

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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