Congruenza fra matrici

relazione di equivalenza tra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza tra matrici. Si tratta di una relazione utilizzata in particolare nello studio delle forme bilineari, come ad esempio i prodotti scalari, dal momento che, dato uno spazio vettoriale, due matrici si dicono congruenti se rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a due basi diverse dello spazio.

DefinizioneModifica

Due matrici quadrate   e  , a valori in un campo  , sono congruenti se esiste una matrice invertibile   tale che

 

dove   è la matrice trasposta di  .

Prodotti scalariModifica

La relazione di congruenza è solitamente studiata fra matrici simmetriche, in quanto due prodotti scalari sono isometrici se e solo se sono rappresentati da matrici congruenti (rispetto a basi qualsiasi).

Più formalmente, se   sono prodotti scalari e   sono due basi qualsiasi, e   è la matrice che rappresenta   rispetto a   per ogni  , allora   e   sono isometrici se e solo se   e   sono congruenti.

Teorema di SylvesterModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Sylvester.

Nel caso in cui il campo   sia il campo dei numeri reali o complessi, il teorema di Sylvester fornisce un invariante completo che caratterizza completamente le classi di equivalenza di matrici simmetriche congruenti.

Nel caso reale, tale invariante è la segnatura, definita nel modo seguente: è una terna di numeri  , indicanti rispettivamente il numero di autovalori reali positivi, negativi e nulli della matrice. Per il teorema spettrale, una matrice simmetrica è diagonalizzabile e quindi la somma  , pari al numero totale di autovalori, è pari al numero di righe della matrice.

Congruenza per forme hermitianeModifica

Se   è il campo dei numeri complessi, è possibile definire una nozione di congruenza lievemente differente: secondo questa definizione, due matrici sono congruenti se esiste una   invertibile con

 

dove   è la matrice trasposta coniugata di  . Questa definizione è utile per le matrici hermitiane: in questo contesto, due matrici hermitiane rappresentano forme hermitiane rispetto ad alcune basi, e analogamente a quanto visto prima le forme sono isometriche se e solo se le matrici sono congruenti.

BibliografiaModifica

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Voci correlateModifica

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