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I polinomi di Bernstein o polinomi nella base di Bernstein sono una particolare classe di polinomi (sul campo reale) utilizzati nell'ambito dell'analisi numerica. Il nome si riferisce al matematico Sergei Natanovich Bernstein.

L'algoritmo di valutazione più stabile numericamente è l'algoritmo di de Casteljau.

DefinizioneModifica

Un polinomio di Bernstein   di grado n è dato dalla formula:

 

dove gli   sono elementi della base dei polinomi di Bernstein, definiti da:

 

o, più in generale:

 

(qui   è il coefficiente binomiale).

ProprietàModifica

I polinomi di base di Bernstein formano una combinazione convessa, infatti risulta che:

  •  
  •  

Scala e traslazioneModifica

La modifica per scala e traslazione dell'intervallo di interesse, non influisce sui coefficienti del polinomio.

EsempioModifica

 
Rappresentazione della base di Bernstein per polinomi di grado 2.

Nel caso di un polinomio di grado   la base in   è composta da:

  •  
  •  
  •  

Un polinomio espresso in questa base avrebbe quindi la forma:

 

ApplicazioniModifica

I polinomi di Bernstein vengono utilizzati per dimostrare il teorema di approssimazione di Weierstrass, inoltre, sono usati per effettuare approssimazioni e interpolazioni di funzioni come, ad esempio, la curva di Bézier, così come pure per la stima delle funzioni di densità di probabilità

Per n che tende all'infinito, il polinomio converge uniformamente alla funzione f(x), ovvero

 

dove

 , detto modulo di continuità

Voci correlateModifica

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