Quadrivelocità

In fisica, in particolare nella teoria della relatività ristretta e in relatività generale, la quadrivelocità di un oggetto è un quadrivettore, ambientato nello spaziotempo di Minkowski, che generalizza la velocità tridimensionale definita nella meccanica classica. Si tratta di una grandezza cinematica tale per cui la velocità della luce è costante in ogni sistema di riferimento inerziale.

DefinizioneModifica

Nello spaziotempo di Minkowski l'evoluzione delle coordinate spaziali di un oggetto nel tempo è descritta da una curva, che è parametrizzata dal tempo proprio. La quadrivelocità è il vettore che ha per componenti la variazione delle coordinate spaziali e temporali rispetto al tempo proprio. La sua norma, invariante per trasformazioni di Lorentz, è solitamente posta uguale alla velocità della luce   (esso ha quindi solo direzione variabile).

Esplicitamente, la quadrivelocità è definita come il vettore:[1]

 

dove   è il fattore di Lorentz:

 

con   la norma euclidea della velocità classica  .

DerivazioneModifica

In meccanica classica la traiettoria di un oggetto è descritta in tre dimensioni dalle sue coordinate  , con  , espresse in funzione del tempo  :

 

dove   è l'i-esima componente della posizione al tempo  . Le componenti della velocità   nel punto   tangente alla traiettoria sono:

 

dove le derivate sono valutate in  .

Nello spaziotempo di Minkowski le coordinate sono  , con  , in cui   è la componente temporale moltiplicata per c. La parametrizzazione avviene inoltre in funzione del tempo proprio  :

 

Considerando il fenomeno detto dilatazione dei tempi:

 

la quadrivelocità relativa a   è definita come:

 

ComponentiModifica

La relazione tra   e   è data da

 

Effettuando la derivata rispetto al tempo proprio   si ottiene la componente   per  :

 

Utilizzando la regola della catena, per   si ha:

 

dove si è sfruttato il fatto che in meccanica classica:

 

La quadrivelocità è pertanto:

 

NormaModifica

Per calcolare la norma che è costante, prendiamo il seguente caso: sistema a riposo   e  , pertanto   e la direzione del vettore è l'asse temporale.

Si ha:

 

se la segnatura della metrica di Minkowski è  :

 

e inoltre:

 

La norma della quadrivelocità è dunque pari alla velocità della luce. La norma della trivelocità   non è ovviamente un invariante (tranne il caso in cui  ). Differenziando, nella trivelocità  , una componente di trascinamento,  , e una componente riferita al sistema in moto,  , si può calcolare la diminuzione di  quando essa è misurata nel sistema in quiete.

NoteModifica

  1. ^ Jackson, Pag. 532.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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