Reticolo (gruppo)

In matematica, e in particolare in geometria e in teoria dei gruppi, un reticolo in è un sottogruppo discreto di che genera lo spazio vettoriale reale . Ogni reticolo in è generato da una base dello spazio vettoriale mediante combinazioni lineari con coefficienti interi. Un reticolo può essere visto come una tassellatura regolare di uno spazio utilizzando una cella primitiva.

Un reticolo nel piano euclideo.

I reticoli hanno molte applicazioni significative in matematica pura, in particolare nell'ambito delle algebre di Lie, della teoria dei numeri e della teoria dei gruppi. I reticoli emergono anche in diversi contesti della matematica applicata e delle scienze fisiche, ad esempio nella teoria dei codici, nella crittografia (a causa della congetturata difficoltà computazionale di molti problemi di reticolo), nella scienza dei materiali, nella fisica dello stato solido e nella fisica computazionale in generale.

Ogni reticolo in è un gruppo abeliano libero di rango .

CovolumeModifica

Un tipico reticolo   in   ha la forma

 

dove   è una base di  . Differenti basi possono generare lo stesso reticolo, ma il valore assoluto del determinante dei vettori   è unicamente determinato ed è indicato da  . Se si pensa il reticolo come una divisione dello spazio   in poliedri congruenti (copie di un parallelepipedo  -dimensionale noto come regione fondamentale del reticolo), allora   è uguale al volume  -dimensionale del poliedro. Poiché il gruppo quoziente   può essere identificato con questo poliedro, il valore   è detto covolume del reticolo  . Se  , il reticolo è detto unimodulare.

Punti di un reticolo in un insieme convessoModifica

Il teorema di Minkowski mette in relazione il covolume   di un reticolo   e il volume di un insieme convesso   simmetrico rispetto all'origine con il numero di punti del reticolo contenuti in  . Nello specifico esso afferma che se

 

allora   contiene almeno un punto del reticolo oltre all'origine.

Il numero di punti di un reticolo contenuti in un politopo è descritto dal polinomio di Ehrhart associato al politopo.

Reticoli in generici spazi vettorialiModifica

Il concetto di reticolo può essere esteso ad un qualunque spazio vettoriale di dimensione finita su un generico campo. Sia   un campo e   uno spazio vettoriale di dimensione finita   su  . Sia   una base per   e sia   un anello contenuto in  . Allora l' -reticolo   in   generato da   è dato da

 

Differenti basi   daranno in generale differenti reticoli. Tuttavia, se la matrice di transizione   tra le due basi appartiene a  , allora i reticoli generati da queste due basi sono isomorfi. Dire che   appartiene a   equivale a dire che   ha tutte le componenti in   e ha determinante che è un'unità dell'anello   o, alternativamente, sia   che   hanno tutte le componenti in  .

Casi particolarmente importanti in teoria dei numeri si hanno quando   è il campo dei numeri  -adici e   è l'anello degli interi  -adici.

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