Sistema autonomo (matematica)

sistema di equazioni non dipendente dal tempo

In matematica, un sistema autonomo o equazione differenziale autonoma è un sistema di equazioni differenziali ordinarie che non dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente. Sono utilizzati nello studio dei sistemi dinamici, dove la variabile indipendente è il tempo.

DefinizioneModifica

Un'equazione autonoma è un'equazione differenziale ordinaria del tipo:

 

dove   è una funzione continua con derivata prima continua in tutto un intervallo  , e che non dipende dalla variabile indipendente  . Se   è un vettore di   si ha un sistema autonomo, ovvero un sistema di equazioni differenziali ordinarie autonome:

 

Di particolare importanza sono i punti   tali per cui  , detti punti di equilibrio, ai quali corrisponde la soluzione costante  .

Un generico sistema di equazioni differenziali ordinarie (in cui   dipende da  ):

 

può essere reso autonomo introducendo una nuova incognita  .

ProprietàModifica

Sia   l'unica soluzione del problema ai valori iniziali per il sistema autonomo:

 

Allora   è soluzione di:

 

Infatti, ponendo   si ha   e  , sicché:

 

e la condizione iniziale è verificata:

 

Inoltre, se   allora la funzione costante   è una soluzione (come si verifica sostituendola nell'equazione, osservando che la sua derivata è nulla) che soddisfa la condizione iniziale  . In particolare, un vettore   tale che   è un punto di equilibrio per il sistema se e solo se  .

SoluzioniModifica

La soluzione formale di un sistema del primo ordine si ottiene scrivendo:

 

da cui:

 

Integrando si ottiene la soluzione generale:

 

dove   è una costante dipendente dalle condizioni iniziali. Più precisamente, grazie al fatto che l'integrale precedente è una funzione invertibile, si mostra che se   è definita su   e   allora esistono un intorno di   ed un intorno di   tali per cui esiste almeno una soluzione   di   tale che  . Considerando pertanto il problema di Cauchy abbinato all'equazione autonoma  , se   allora la soluzione è costante ( ) mentre se   la soluzione è data dall'integrale:

 

A partire dalle soluzioni si possono ricavare proprietà generali per l'equazione autonoma: se la funzione   ha segno costante allora anche la derivata   ha segno costante, cioè mantiene la monotonia. Ad esempio, Si consideri:

 

Questa equazione ha una soluzione costante  . Le altre soluzioni sono crescenti se   e decrescenti se   e non si hanno punti di flesso. Un altro esempio semplice è l'equazione logistica.

Secondo ordineModifica

Per un'equazione autonoma del secondo ordine:

 

si introduce la variabile:

 

e si esprime la derivata seconda di  , sfruttando la regola della catena, come:

 

In questo modo l'equazione originale diventa:

 

che è un'equazione del primo ordine che non dipende esplicitamente da  . Risolvendola si ottiene   in funzione di  , e dalla definizione di   si ha:

 

da cui:

 

che è la soluzione implicita.

Soluzioni periodicheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bendixson-Dulac.

Si consideri un sistema autonomo di due variabili con relativo problema di Cauchy:

 

Per stabilire se il sistema abbia soluzioni periodiche vale il criterio di Bendixon, il quale afferma che se il sistema ammette una soluzione periodica allora la divergenza del campo vettoriale:

 

non ha segno costante (anche se può essere nulla).

DimostrazioneModifica

La soluzione del sistema autonomo è una curva  . Applicando il teorema della divergenza:

 

dove   è il versore normale dato da:

 

Quindi l'integrale diventa:

 

dove   è il periodo della soluzione periodica. Questo significa che la divergenza assume:

 

e quindi non può essere sempre positiva o sempre negativa, altrimenti non si potrebbe annullare.

BibliografiaModifica

  • (EN) William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems, 8th ed., John Wiley & Sons, 2005, p. 133, ISBN 0-471-43338-1.
  • (EN) Blanchard, Devaney, Hall, Differential Equations, Brooks/Cole Publishing Co, 2005, pp. 540–543, ISBN 0-495-01265-3.
  • (EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
  • (EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
  • (EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàGND (DE4625227-7
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica