Funzione periodica

funzione che assume valori che si ripetono a intervalli regolari detti periodi
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In matematica, a livello intuitivo, per funzione periodica si intende una funzione che assume valori che si ripetono esattamente a intervalli regolari.

Esempio di una funzione periodica. Con P è indicato il periodo.

Definizione

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Una funzione   definita su un gruppo abeliano   è periodica di periodo  , con  , se   per ogni  .

Funzioni di variabile reale

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Le funzioni periodiche più note sono le funzioni reali di variabile reale. Formalmente, una funzione reale   si dice periodica di periodo   se esiste un numero reale   tale che:

  • il dominio   è invariante per traslazione di  , ovvero  ;
  • la funzione   è invariante per traslazione di  , ovvero per ogni   si ha  .

Se   è periodica di periodo   ed è periodica di periodo  , allora è periodica di ogni periodo

 .

L'insieme   dei periodi   di   è quindi uno  -modulo.

  • Se  , ovvero se   ha il solo periodo  , allora   è detta aperiodica.
  • Se   è un modulo libero di dimensione  , ovvero se   con  , ovvero se esiste un minimo tra i periodi  , allora   è detta periodica di periodo minimo  , o periodica di periodo   in senso stretto.
  • Il modulo   non è necessariamente libero di dimensione   o  , ovvero potrebbe non esistere un minimo periodo strettamente positivo; ad esempio, la funzione di Dirichlet ha   e non è né aperiodica né periodica in senso stretto.

Domini limitati

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Da ogni funzione a valori reali definita su un dominio limitato si può definire una funzione periodica, di periodo maggiore o uguale all'ampiezza del dominio. Ad esempio, la funzione identità ristretta all'intervallo  ,

 

definisce una funzione periodica di periodo 1 definita su tutti i reali: la parte frazionaria

 
  • Le funzioni trigonometriche seno e coseno sono periodiche di periodo minimo  .
  • Sono quindi automaticamente periodiche le funzioni:
    •   e  , che hanno periodo minimo  ;
    •   e  , che hanno periodo minimo  .

Funzioni doppiamente periodiche

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Una funzione può ammettere due o più periodi non commensurabili (la definizione dipende dalle caratteristiche che si richiedono al dominio).

Ad esempio, una funzione ellittica è una funzione doppiamente periodica:

è definita dall'insieme dei numeri complessi in sé,  ;
è periodica rispetto a due periodi,  ;
questi due periodi sono "incommensurabili",  

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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