Tavola degli integrali definiti

Questa pagina contiene una tavola degli integrali definiti. Per altri integrali vedi le tavole di integrali.

Esistono molte funzioni integrabili la cui primitiva non si può esprimere in forma chiusa, cioè con un'espressione costruita con funzioni note. Tuttavia alcuni integrali definiti di queste funzioni possono essere espressi in forma chiusa. La prima sezione di questa pagina ne presenta alcuni esempi di uso comune.

Alcuni integrali definiti con funzione integranda dipendente da parametri individuano funzioni di tali parametri che presentano elevato interesse e che quindi conviene considerare come funzioni speciali caratterizzate da un simbolo e un nome: le definizioni di alcune di queste funzioni costituiscono la seconda sezione di questa pagina.

Integrali generalizzati più comuni

$\int _{0}^{+\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{+\infty }{e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} x}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ (integrale di Gauss) o $\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}$ (integrale di Eulero)

$\int _{0}^{+\infty }{e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}$

$\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

$\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}={\frac {\pi ^{4}}{15}}$

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

$\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\pi$

$\int _{0}^{+\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,\mathrm {d} x=\Gamma (z)$ ($\Gamma$ denota la funzione Gamma)

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{3}}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{3}}\mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)$ (integrale ellittico), $\mathrm {B} \left(p,q\right)$ denota la funzione Beta

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\cos(x))\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln(\sin(x))\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}\ln(2)$

Dimostrazione

Per calcolare il valore di questo integrale conviene usare una delle proprietà della trasformata di Fourier, secondo cui se $S(f)={\mathcal {F}}\{s(t)\}$ allora $S(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\mathrm {d} t$. Questo discende direttamente dalla definizione, infatti, indicando con $i$ l'unità immaginaria, risulta

$S(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t$

di conseguenza

$S(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i2\pi \cdot 0\cdot t}\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t)\mathrm {d} t$

Per risolvere l'integrale proposto, conviene fare la sostituzione $x=\pi t$, da cui $\mathrm {d} x=\pi \mathrm {d} t$ e l'integrale diventa $\pi \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}\mathrm {d} t$

Ciò che si deve fare è calcolare la trasformata di Fourier di ${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$, e per far questo introduciamo la funzione ${\textit {rect}}(t)$, definita come segue ${\textit {rect}}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\textit {se}}\quad |t|<{\frac {1}{2}}\\0&{\textit {altrimenti}}\end{array}}\right.$

Calcoliamo la trasformata di Fourier di tale funzione, risulta

${\mathcal {F}}\{{\textit {rect}}(t)\}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\textit {rect}}(t)e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t=$ $=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}e^{-i2\pi ft}\mathrm {d} t=[{\frac {e^{-i2\pi ft}}{-i2\pi f}}]_{t=-{\frac {1}{2}}}^{t={\frac {1}{2}}}=$ ${\frac {e^{-i\pi f}-e^{i\pi f}}{-i2\pi f}}={\frac {e^{i\pi f}-e^{-i\pi f}}{i2\pi f}}={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}$

dove l'ultima relazione è stata desunta dalla formula di Eulero, secondo cui $\sin(\theta )={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

Si è quindi dimostrato che la trasformata di Fourier di ${\textit {rect}}(t)$ è ${\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}$.

Secondo la proprietà della dualità della trasformata di Fourier, risulta che se $S(f)={\mathcal {F}}\{s(t)\}$ allora $s(-f)={\mathcal {F}}\{S(t)\}$. Pertanto la trasformata di Fourier di ${\frac {sin(\pi t)}{\pi t}}$ è ${\textit {rect}}(-f)$, ma la funzione ${\textit {rect}}$ è pari, di conseguenza ${\textit {rect}}(f)={\textit {rect}}(-f)$, pertanto la trasformata di Fourier di ${\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}$ è la funzione ${\textit {rect}}(f)$. Ricordando la proprietà enunciata inizialmente, risulta $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\mathrm {d} x=\pi \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\sin(\pi t)}{\pi t}}\mathrm {d} t=\pi \cdot {\textit {rect}}(0)=\pi \cdot 1=\pi$

$\int _{-\infty }^{+\infty }\cos(x^{2})\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{+\infty }\sin(x^{2})\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}$ (integrali di Fresnel)

$\int _{0}^{\pi }\ln(1-2\alpha \cos \,x+\alpha ^{2})\,\mathrm {d} x=2\pi \ln |\alpha |$

$\int _{0}^{+\infty }{xe^{-x^{3}}\,\mathrm {d} x}={\frac {1}{3}}\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)$

$\int _{0}^{+\infty }x^{z}\,e^{-\beta x^{\alpha }}\,\mathrm {d} x=\left(\alpha \beta ^{\frac {z+1}{\alpha }}\right)^{-1}\Gamma \left({\frac {z+1}{\alpha }}\right)$

Funzioni speciali da integrali trigonometrici e iperbolici

Integral seno e variante:

${\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t$

${\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t={\rm {Si}}(x)-{\frac {1}{2}}\pi$

Integral coseno e varianti:

${\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,\mathrm {d} t$

${\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t$

${\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{+\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t$

Integral seno iperbolico:

${\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,\mathrm {d} t={\rm {shi}}(x)$

Integral coseno iperbolico:

${\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,\mathrm {d} t={\rm {chi}}(x)$

Bibliografia

• (DE) Meier Hirsch, Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln, Berlin, Duncker und Humblot, 1810
• (DE) Ferdinand Minding, Sammlung von Integraltafeln zum Gebrauch für den Unterricht an der Königl, Berlin, Carl Reimarus, 1849
• (FR) David Bierens de Haan, Nouvelles tables d'intégrales définies, Leide, P. Engels, 1867
• (FR) David Bierens de Haan, Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies, Amsterdam, C. G. Van der Post, 1862
• (EN) Benjamin Osgood Peirce, A short table of integrals - second edition, Boston, Ginn & co., 1910
• (EN) H. B. Dwight, Tables of Integrals and Other Mathematical Data, New York, MacMillan, 1967
• G. Fatuzzo, Tavole di integrali: 4000 integrali calcolati e 2000 razionalizzati: ad uso degli ingegneri, dei tecnici e degli studenti delle Facoltà di ingegneria e di scienze, Torino, Libreria tecnica editrice dott. V. Giorgio, 1976, ISBN L5000
• (EN) A. P. Prudnikov, Yu. A. Brychkov, O. I. Marichev, Integrals and series, New York, Gordon & Breach, 1986

ISBN 2881240976

• (EN) I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Alan Jeffrey e Daniel Zwillinger (eds.), New York, Academic Press, 2007 ISBN 0123736374

Voci correlate

• Costante di Eulero - Mascheroni ($\gamma$)
• Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche

Collegamenti esterni

• Function Calculator (WIMS)