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In algebra lineare, il teorema di Binet è un teorema che collega il prodotto fra matrici quadrate con il determinante.

Il teorema viene generalizzato dalla formula di Cauchy-Binet.

Il teoremaModifica

Siano   e   due matrici quadrate con lo stesso numero di righe, a valori in un campo  .

Il determinante del prodotto tra   e   è il prodotto del determinante di   per il determinante di  :

 

ApplicazioniModifica

  • Una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. Infatti:
    • se   è invertibile allora esiste   tale che  , e quindi  , e quindi   non è zero.
    • se   non è zero l'algoritmo di Gauss permette di trovare un'inversa.
  • Se   è invertibile, allora:
 
 
  • Il determinante di un endomorfismo   (dove   è uno spazio vettoriale di dimensione finita), definito come il determinante di una matrice associata rispetto ad una base  , in realtà non dipende dalla scelta di  : è quindi una grandezza intrinseca di  , che indichiamo con  .
  • Il determinante di un'isometria   ha norma 1. Quindi se   il determinante di una isometria è 1 oppure -1.

BibliografiaModifica

  • (EN) Joel G. Broida & S. Gill Williamson (1989) A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5.

Voci correlateModifica

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