Teorema di Bolzano-Weierstrass

teorema matematico

Il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che in uno spazio euclideo finito dimensionale ogni successione reale limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente.

Un ulteriore enunciato del teorema afferma che: "Un insieme infinito e limitato ammette almeno un punto di accumulazione."

La dimostrazione di questo secondo enunciato si trova subito dopo la dimostrazione del primo.

Esso fu dimostrato nel 1817 dal matematico boemo Bernard Bolzano, ma divenne noto solo mezzo secolo più tardi quando Karl Weierstrass, ignaro del lavoro di Bolzano, fornì una nuova dimostrazione. Per tale motivo esso prende il nome di entrambi gli studiosi.

Il teoremaModifica

Sia   un insieme limitato e infinito. Allora   possiede almeno un punto di accumulazione.

Un corollario immediato del teorema asserisce che ogni successione limitata in  [1] ammette almeno una sottosuccessione convergente[2].

Dimostrazione per induzione nel caso n = 1Modifica

Sia l'insieme limitato   contenuto nell’intervallo   (con   numeri reali), e si definisca il punto   come il punto medio del segmento della retta reale avente come estremi i punti   e  .

Poiché, per ipotesi,   è un insieme infinito, in almeno uno dei due sottointervalli   e   (la cui unione contiene  ) cadranno infiniti elementi di  . Si consideri tale sottointervallo (oppure uno qualsiasi tra   e  , nel caso in cui entrambi contengano infiniti elementi di  ) e se ne rinominino gli estremi come   e  , rispettivamente. Si definisca ora   come il punto medio del sottointervallo  , e si iteri il procedimento.

Questa procedura si può ripetere indefinitamente e, così facendo, si vengono a creare due successioni:

  •  , monotona crescente e che, per il teorema sulle sottosuccessioni monotone contenute in un insieme limitato, ammette limite  ;
  •  , monotona decrescente e che, per il teorema sulle sottosuccessioni monotone contenute in un insieme limitato, ammette limite  .

Ma i due limiti   e   sono uguali, poiché

 

e, passando al limite per  , si ottiene

 

ossia

 

Adesso, considerato che anche  , scriviamo la definizione di limite per ambedue le successioni:

  •   (essendo monotona crescente, non potrà essere maggiore di  )
  •   (essendo monotona decrescente, non potrà essere minore di  )

Ponendo infine  , si otterrà che siano rispettate entrambe le condizioni, e cioè che

 

il che esprime il fatto che ogni intorno di   (di semiampiezza  ) contiene un intervallo del tipo   il quale, a sua volta, contiene per costruzione infiniti punti di  . Dunque in ogni intorno di   cadono infiniti punti di   e quindi, per definizione di punto di accumulazione,   risulta punto di accumulazione per l’insieme  .

Si noti che, se durante le ripetute suddivisioni dell'intervallo   si fossero trovati altri   sottointervalli contenenti infiniti elementi di  , allora si sarebbero trovati altri   punti di accumulazione per l’insieme  .[3]

Dimostrazione (alternativa) nel caso n = 1Modifica

La dimostrazione nel caso   fa uso dell'assioma di Dedekind (o assioma di completezza) e di un apposito lemma.

LemmaModifica

Ogni successione   a valori in   ammette una sottosuccessione monotona.

Dimostrazione del lemmaModifica

Chiamiamo "picco per la successione" ogni numero naturale   tale che, per ogni  , risulti   ovvero tale che il termine   sia maggiore o uguale di ogni termine che lo "segue" nella successione.

Consideriamo il caso in cui la successione abbia infiniti picchi  . Ne consegue che otteniamo una sottosuccessione monotona decrescente   costituita dagli infiniti picchi della successione di partenza e la tesi (del lemma) è raggiunta.

Risultato simile si ritrova nello studio del limite superiore di una successione. In tale contesto, infatti, si considera la sottosuccessione data da  .

Supponiamo adesso che ci sia solo un numero finito di picchi, chiamiamo con N l'ultimo picco e n1 = N + 1. Perciò n1 non è un picco, poiché n1 > N; da ciò segue che esiste un n2 > n1 tale che   Allo stesso modo, n2 > N non è un picco, per cui esiste n3 > n2 con  . Iterando il procedimento si ottiene la sottosuccessione monotona crescente  .

Dimostrazione vera e propriaModifica

Supponiamo adesso di avere una successione limitata in  ; il lemma precedente implica l'esistenza di una sottosuccessione monotona necessariamente limitata. Dal teorema della convergenza monotona per successioni reali segue che questa sottosuccessione necessariamente converge. Infatti, essendo limitata, avrà l'estremo superiore (inferiore) per l'assioma di Dedekind, che sarà anche il limite della successione. Ciò è provato dal fatto che, chiamato   l'estremo superiore,  . Essendo monotona,   cioè  . Si conclude così la dimostrazione del teorema per il caso  .

Dimostrazione per n qualsiasiModifica

Nella sua formulazione più generale, il teorema può essere dimostrato tramite il caso  : data una successione limitata in  , la successione delle prime coordinate è una successione reale limitata e perciò essa ammette sottosuccessione convergente. Da questa possiamo estrarre una sottosottosuccessione (convergente) per la quale la seconda coordinata converga. Iterando questo procedimento per tutte le   coordinate si ottiene una   volte sottosuccessione della successione di partenza — che è a tutti gli effetti una sottosuccessione della successione di partenza — per la quale ogni coordinata è una successione convergente. Si è così ottenuta una sottosuccessione convergente della successione in  .

Formulazione del teorema con la nozione di compattezzaModifica

Come affermato si ha un secondo enunciato[4] del teorema:

Sia   un insieme infinito, e sia   un insieme compatto. Allora   ammette almeno un punto di accumulazione in  .

DimostrazioneModifica

Supponiamo, per assurdo, che   non ammetta punti di accumulazione in  . Allora

 

con   un intorno aperto di  . Ora, evidentemente, la famiglia di aperti

 

è una copertura aperta di  .

Poiché  , per ipotesi, è compatto, da tale copertura aperta è possibile estrarre un sottoricoprimento aperto finito di  , ossia una sottofamiglia   per qualche   tale che

 

Tuttavia, ciò è assurdo poiché   contiene infiniti elementi, mentre   contiene al più   elementi.

NoteModifica

  1. ^ Soddisfacendo le ipotesi del teorema in quanto insieme infinito e limitato in  .
  2. ^ Conseguenza del fatto che la successione abbia un punto di accumulazione per il teorema di Bolzano-Weirstrass: se esiste un punto di accumulazione   per un certo insieme, allora ogni intersezione di un intorno di   privata del punto con l'insieme sarà non vuota, per cui cadranno infiniti punti dell'insieme vicini a piacere al punto di accumulazione, che è limite a cui qualche sottosuccessione estratta dall'insieme converge sicuramente per la definizione di limite di una successione.
  3. ^ G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, london, 1908.
  4. ^ Più generale nei termini, poiché enunciato per insiemi infiniti in spazi compatti, di cui gli insiemi infiniti limitati in   sono un caso particolare.

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