Teorema di Heine-Borel

In matematica, in particolare nella topologia degli spazi metrici, il teorema di Heine–Borel è un teorema che caratterizza gli spazi compatti in . Prende il nome dai matematici Eduard Heine e Émile Borel.

Il teoremaModifica

Il teorema di Heine-Borel afferma che se  , allora   è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

Alla luce di questo teorema, in analisi reale la seconda proprietà (chiusura e limitatezza) viene a volte utilizzata come definizione di compattezza. L'equivalenza tuttavia cessa di esser vera su sottospazi di spazi metrici (e topologici) più generali; in un qualunque spazio metrico, comunque, la compattezza rimane condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché un insieme sia chiuso e limitato.

Dimostrazione con il teorema di Bolzano-WeierstrassModifica

Si dimostra il teorema in  , è poi possibile estendere la dimostrazione in  .

Si consideri un insieme   limitato, cioè contenuto in una palla   a sua volta contenuta in una palla più grande  . Si consideri una successione in  , che essendo in   avrà due coordinate:

 

e tale che:

 

Si ha:

 

Essendo quindi   limitata, per il teorema di Bolzano-Weierstrass è possibile estrarre una sottosuccessione che converga:

 

Estraendo una sottosuccessione   di   convergente, non è detto che converga per stessi indici di  . Si estraggono allora altre due sottosuccessioni convergenti (lo sono tutte) con gli stessi indici:

 

Si ha quindi:

 

Per dimostrare che  , si considera una successione   appartenente ad  .

Per assurdo si ponga che   e  . Se   è chiuso,   è aperto, quindi esiste una palla   contenuta in  . Esiste pertanto un   tale che per     appartiene a   il che è assurdo, perché   non può appartenere sia a   che ad  .

CorollariModifica

Una conseguenza notevole di questo teorema è la compattezza della sfera in  .

Infatti questa è chiusa, poiché è un luogo di zeri di una funzione continua (ad esempio  ), ed è limitata. Analogamente la palla unitaria chiusa di  , essendo limitata e ovviamente chiusa, è compatta.

Da ciò segue che  , non essendo compatto, non è omeomorfo alla palla unitaria chiusa in esso contenuta.

Dimostrazione topologicaModifica

Sia   un compatto. Si consideri il ricoprimento di palle aperte:

 

Esso deve ammettere un sottoricoprimento finito  , dunque   è contenuto nella palla di raggio massimo appartenente a  . Da ciò segue che   è limitato. Inoltre i compatti in uno spazio di Hausdorff sono chiusi, dunque   è anche chiuso.

Viceversa, supponiamo che   sia chiuso e limitato. Allora  . Ma la n-palla è omeomorfa all'n-cubo:

 

Si può provare facilmente che   è compatto anche senza il teorema di Heine-Borel, dunque l'n-cubo è compatto, perché prodotto di compatti (teorema di Tychonoff).

Si ha quindi che anche   è compatta e quindi   è un sottospazio chiuso di uno spazio compatto (si noti che essendo   chiuso,   è chiuso non solo in  , ma anche nella topologia indotta sulla palla), dunque   è compatto.

EstensioniModifica

Spazi metriciModifica

Il teorema può essere esteso agli spazi metrici nelle seguenti forme.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato.[1]

Un sottospazio di uno spazio metrico completo è compatto se e solo se è chiuso e totalmente limitato. Dim: è sufficiente provare che un sottospazio di uno spazio metrico completo è a sua volta completo se e solo se è chiuso.

Spazi vettoriali reali e complessiModifica

Il teorema si applica anche agli spazi vettoriali sul campo reale o complesso di dimensione finita. Cessa di esser valido in spazi di dimensione infinita. Anzi, si può dimostrare che esso è vero se e solo se lo spazio vettoriale (reale o complesso) è di dimensione finita.

NoteModifica

  1. ^ Uno spazio metrico si definisce completo se ogni sua successione di Cauchy converge in esso (ossia, se la condizione di Cauchy per le serie è condizione sufficiente, oltreché necessaria, per la convergenza). Si dice totalmente limitato se per ogni ε>0 esiste un ricoprimento finito composto da palle di raggio ε.

Collegamenti esterniModifica

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