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In algebra lineare il teorema di Sylvester permette di classificare i prodotti scalari su uno spazio vettoriale di dimensione finita tramite un invariante numerico, che nel caso reale è la segnatura mentre nel caso complesso è il rango.

Il teoremaModifica

Sia   uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo   dei numeri reali o complessi, sul quale è definito un prodotto scalare   su  , ovvero una forma bilineare simmetrica.

Due prodotti scalari   e   sono detti isometrici (o congruenti) se sono collegati da una isometria, ovvero se esiste un automorfismo  , cioè una trasformazione lineare biunivoca, tale che:

 

Due vettori   e   di   sono ortogonali per   se  , e il radicale di   è il sottospazio vettoriale dato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore. Il rango di   è n meno la dimensione del radicale, mentre un vettore   è isotropo se  .

Una base ortogonale di   rispetto a   è una base di vettori   che sono a due a due ortogonali. Si consideri   e si definisca la segnatura della base come la terna   di interi, dove:

  •   è il numero di vettori   della base per cui  .
  •   è il numero di vettori   della base per cui  .
  •   è il numero di vettori   della base per cui  .

Una tale definizione non avrebbe senso per  , perché   non ha un ordinamento naturale.

EnunciatoModifica

Esistono due versioni del teorema di Sylvester: una per il campo reale, e una per quello complesso.

Il teorema di Sylvester reale afferma che se   è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale reale   di dimensione n, allora:

  • Esiste una base ortogonale di   per  .
  • Due basi ortogonali per   hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da  .
  • Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono congruenti.

La segnatura è quindi un invariante completo per l'isometria (congruenza): due spazi vettoriali reali con prodotto scalare sono isometrici (congruenti) se e solo se hanno la stessa segnatura.

La versione complessa afferma che se   è un prodotto scalare sullo spazio vettoriale complesso   di dimensione n, allora:

  • Esiste una base ortogonale di   per  .
  • Due basi ortogonali per   contengono lo stesso numero di vettori isotropi, pari alla dimensione del radicale, che dipende quindi solo da  .
  • Due prodotti scalari con lo stesso rango sono congruenti.

Nel caso complesso il rango è pertanto un invariante completo per l'isometria (congruenza).

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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