Teorema di sviluppabilità in serie bilatera

Il teorema di sviluppabilità in serie bilatera, anche conosciuto come teorema di Laurent, permette di esplicitare qualsiasi funzione complessa come una serie bilatera.

Teorema

Ip: Data una funzione $f:A\rightarrow B$ olomorfa in $A=\{z\in \mathbb {C} :R_{1}<|z-z_{0}|<R_{2}\}$, dove $z_{0}$ è una singolarità isolata.

Th: Allora $\forall z\in A,f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {c_{-n}}{(z-z_{0})^{n}}}$

Dimostrazione

Avendo a disposizione una corona circolare, ne costruisco un'altra all'interno, scegliendo un qualsiasi $z$ all'interno di essa. Quindi la nuova corona circolare sarà $R_{1}<r_{1}<|z-z_{0}|<r_{2}<R_{2}$. Prendo i bordi corona circolare e li chiamo $\gamma _{1}=\partial B_{r_{1}}$ e $\gamma _{2}=\partial B_{r_{2}}$, dove la $B$ è intesa come la corona circolare di raggio $r_{1},r_{2}$. Dal Teorema integrale di Cauchy, so che: $f(z)={\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(s)}{s-z}}\,ds$ con $z$ la singolarità isolata.

$\Gamma$ è la curva composta da 4 pezzi: i due bordi della corona circolare più due trattini per chiudere la curva. Percorrendo i due trattini prima in un verso e poi nell'altro, si annullano a vicenda. Quindi il mio integrale diventa:

$f(z)={\frac {1}{2\,\pi \,i}}\left[\overbrace {\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{s-z}}\,ds} ^{I}-\overbrace {\int _{\gamma _{1}}{\frac {f(s)}{s-z}}\,ds} ^{II}\right]$

Il secondo integrale è negativo, poiché si percorre la curva in senso orario.

Al primo integrale applichiamo il seguente artifizio a $s-z$

$s-z=s-z_{0}+z_{0}-z=(s-z_{0})\left[1-{\frac {z-z_{0}}{s-z_{0}}}\right]$ Quindi:

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{(s-z_{0})\left[1-{\frac {z-z_{0}}{s-z_{0}}}\right]}}\,ds$.

Racchiusa nella parentesi quadra è presente la serie geometrica con condizione $|z-z_{0}|<|s-z_{0}|$.

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{s-z_{0}}}\,\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(s-z_{0})^{n}}}\,ds$

Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi

$\sum _{n=0}^{+\infty }\,\underbrace {\left[{\frac {1}{2\,\pi \,i}}\,\int _{\gamma _{2}}{\frac {f(s)}{(s-z_{0})^{n+1}}}\,ds\right]} _{c_{n}}\,(z-z_{0})^{n}$

Al secondo integrale applichiamo un artifizio simile, sfruttando il meno davanti all'integrale.

$z-s=z-z_{0}+z_{0}-s=(z-z_{0})\left[1-{\frac {s-z_{0}}{z-z_{0}}}\right]$ Quindi:

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{1}}{\frac {f(s)}{(z-z_{0})\left[1-{\frac {s-z_{0}}{z-z_{0}}}\right]}}\,ds$.

Racchiusa nella parentisi quadra è presente la serie geometrica con condizione $|s-z_{0}|<|z-z_{0}|$.

${\frac {1}{2\,\pi \,i}}\int _{\gamma _{1}}{\frac {f(s)}{z-z_{0}}}\,\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\frac {(s-z_{0})^{n}}{(z-z_{0})^{n}}}\,ds$

Porto fuori il segno di sommatoria essendo essa convergente per costruzione; quindi

$\sum _{n=0}^{+\infty }\,\left[{\frac {1}{2\,\pi \,i}}\,\int _{\gamma _{1}}{f(s)}{(s-z_{0})^{n}}\,ds\right]\,{\frac {1}{(z-z_{0})^{n+1}}}$

Shiftando i parametri ottengo

$\sum _{n=1}^{+\infty }\,\underbrace {\left[{\frac {1}{2\,\pi \,i}}\,\int _{\gamma _{1}}{f(s)}{(s-z_{0})^{n-1}}\,ds\right]} _{c_{-n}}\,{\frac {1}{(z-z_{0})^{n}}}$

Conclusioni

I valori di $c_{n}$ e $c_{-n}$ sono numeri, poiché sono le soluzioni degli integrali. Da notare come $c_{-1}$ è il valore del residuo di $f$ in $z_{0}$, cioè $\operatorname {Res} (f,z_{0})$.

Voci correlate

• Serie di Laurent
• Polo (analisi complessa)
• Analisi complessa
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo