Teorema di uniformizzazione di Riemann

Il teorema di uniformizzazione di Riemann è un importante teorema di analisi complessa, dimostrato dal matematico Bernhard Riemann. Il teorema descrive un forte collegamento fra l'analisi complessa e la geometria differenziale per le superfici.

Il matematico Bernhard Riemann.

EnunciatoModifica

Il teorema di uniformizzazione di Riemann asserisce il fatto seguente.

Una superficie di Riemann ammette una metrica riemanniana con curvatura gaussiana costante 1, 0 oppure -1, che induce la stessa struttura conforme data dalla struttura complessa originaria della superficie di Riemann. Tale metrica è unica (a meno di riscalamento se la curvatura è zero).

Una superficie che ammette una metrica a curvatura costante 1, 0 o -1 è detta rispettivamente ellittica, piatta o iperbolica.

Superfici semplicemente connesseModifica

Un ingrediente fondamentale del teorema è il teorema della mappa di Riemann, che considera il caso in cui la superficie di Riemann sia semplicemente connessa. In questo caso, la superficie è biolomorfa ad uno dei tre modelli, dati dal disco di Poincaré, il piano complesso e la sfera di Riemann. Ciascuno di questi ammette effettivamente una metrica conforme con curvatura costante rispettivamente uguale a -1, 0 e 1.

Gruppi di biolomorfismiModifica

Il secondo ingrediente nella dimostrazione del teorema è dato dall'analisi dei biolomorfismi dei tre modelli. Infatti, ogni superficie di Riemann   ammette un rivestimento universale  , che può essere dotato della struttura complessa indotta da  . Quindi   è ottenuto da   come quoziente rispetto ad un particolare gruppo di biolomorfismi di  . Poiché il quoziente è una superficie, il gruppo deve agire in modo libero e propriamente discontinuo.

In tutti e tre i casi, si verifica quindi che i biolomrfismi sono anche isometrie rispetto alle metriche corrispondenti. Quindi la superficie   eredita una metrica riemanniana, che è conforme con la struttura complessa originaria. Più dettagliatamente:

SferaModifica

I biolomorfismi della sfera sono esattamente le trasformazioni di Möbius. Una trasformazione di Möbius ha sempre almeno un punto fisso, e quindi la sfera non ha quozienti.

PianoModifica

I biolomorfismi del piano complesso sono le mappe  . Fra queste, solo le traslazioni   non hanno punti fissi. I gruppi di traslazioni che agiscono in modo propriamente discontinuo hanno uno o due generatori, sono isomorfi a   oppure  , e danno luogo rispettivamente ad una superficie di Riemann che è topologicamente una corona circolare oppure un toro. La struttura complessa dipende dal tipo di traslazioni (il toro ammette una infinità di strutture diverse, dipendenti in modo continuo dalle traslazioni scelte).

DiscoModifica

Un gruppo di biolomorfismi del disco che agisce in modo libero e propriamente discontinuo è detto un gruppo fuchsiano. Esistono molti gruppi fuchsiani, ed il loro studio è un ramo importante della geometria moderna. Tramite i loro quozienti, si ottengono tutte le superfici compatte aventi caratteristica di Eulero negativa, cioè aventi genere maggiore di uno.

Versione topologicaModifica

Il teorema di uniformizzazione può essere enunciato per una superficie topologica, non necessariamente dotata di una struttura complessa. In questo caso, si ammette anche che la superficie sia non orientabile, come ad esempio il piano proiettivo o la bottiglia di Klein.

Superfici di tipo finitoModifica

Una superficie di tipo finito è una superficie connessa ottenuta topologicamente rimuovendo un numero finito   (che può essere nullo) di punti da una superficie compatta. Topologicamente, una tale superficie è determinata da  , dal genere   della superficie compatta, e dall'orientabilità della superficie.

Per le superfici di tipo finito è definita la caratteristica di Eulero. Se la superficie è orientabile, questa è

 

mentre se non è orientabile, è data da

 

Escludendo il caso  , una tale superficie è ellittica se  , piatta se   e iperbolica se  . Quindi:

  • le superfici ellittiche sono la sfera (tipo   orientabile) e il piano proiettivo (tipo   non orientabile);
  • le superfici piatte sono il toro (tipo   orientabile), la bottiglia di Klein (tipo   non orientabile), l'anello (tipo   orientabile) ed il nastro di Möbius (tipo   non orientabile);
  • tutte le altre sono iperboliche. Ad esempio, la superficie compatta orientabile di genere 2 e la sfera con 3 punti rimossi (hanno rispettivamente   e  ).

L'anello ed il nastro di Möbius sono da intendersi senza bordo.

GeneralizzazioniModifica

Una generalizzazione importante del teorema di uniformizzazione è la Congettura di geometrizzazione di Thurston. Si tratta di un enunciato simile, applicato alle varietà di dimensione 3, che comprende al suo interno anche la Congettura di Poincaré. La congettura di geometrizzazione è stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2002.

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica