Regolarizzazione a variazione totale

tecnica di riduzione del rumore in elaborazione digitale delle immagini
(Reindirizzamento da Total variation denoising)

La regolarizzazione a variazione totale (anche nota come total variation denoising) è un metodo di riduzione del rumore usato in elaborazione digitale delle immagini, basato sul principio che la presenza di rumore causa un incremento della variazione totale del segnale. Per questo motivo, una riduzione della variazione totale di un segnale, condotta sotto il vincolo di mantenere similitudine con il segnale originario, può essere usata per rimuovere il rumore e allo stesso tempo conservare i contenuti significativi. Il metodo è stato introdotto da Rudin, Osher e Fatemi nel 1992, motivo per cui è anche noto come modello ROF.[1][2]

Rispetto a tecniche di riduzione del rumore come l'applicazione di un filtro gaussiano o di un filtro mediano, il metodo ha il vantaggio di essere particolarmente efficace nell'eliminare il rumore e allo stesso tempo meglio preservare i contorni, anche in caso di basso rapporto segnale/rumore.[3]

Caso unidimensionale

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Esempio unidimensionale: in grigio il segnale originale, in nero il segnale risultante[4]

La variazione totale di un segnale digitale   può essere espressa come

 

Dato un segnale   contenente una componente di rumore, l'obiettivo è quello di determinare un segnale   che sia simile a   ma con minima variazione totale. La dissimilarità tra i segnale può essere espressa nel senso dei minimi quadrati

 

Il problema diventa quindi la minimizzazione del funzionale

 

L'approccio usato originariamente dagli autori è quello di differenziare il funzionale rispetto a   e derivare una corrispondente equazione di Eulero-Lagrange, che può essere integrata numericamente ponendo il segnale originale   come condizione al contorno.[1] In alternativa, essendo un funzionale convesso, è possibile applicare metodi di ottimizzazione convessa per determinare una soluzione ottimale.[4]

Il parametro   controlla la regolarizzazione e riveste un ruolo fondamentale. Quando   non vi è alcuna regolarizzazione e il problema è equivalente ai soli minimi quadrati, e all'aumentare di   aumenta l'importanza del termine di regolarizzazione e si indebolisce il requisito di similarità con il segnale originale.

Caso bidimensionale

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Un caso comune è quello di un segnale digitale bidimensionale, come ad esempio un'immagine digitale. L'espressione della variazione totale proposta originariamente dagli autori è

 

che è una funzione isotropa e non differenziabile. Una variante anisotropa è talvolta usata in quanto può essere più semplice da ottimizzare

 

Il problema ha ancora la forma di

 

dove   è la norma L2 tra i segnali. A differenza del caso unidimensionale, la soluzione di questo problema di ottimizzazione non convessa è non banale. Il metodo dei punti interni può essere applicato per la sua soluzione.[5]

Equazione di Rudin-Osher-Fatemi

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Nel caso generale, dato un segnale   soggetto a rumore, per determinare un segnale   con rumore ridotto, Rudin, Osher eFatemi proposero il seguente problema di ottimizzazione[6]

 

dove   è l'insieme delle funzioni a variazione limitata a dominio in  ,   è la variazione totale della funzione in   e   è un coefficiente di regolarizzazione. Se   è una funzione liscia, la variazione totale è data da

 

dove   è la norma euclidea. La funzione obiettivo diventa

 

ed, assumendo nessuna dipendenza temporale, è possibile derivare per tale funzionale la seguente equazione di Eulero-Lagrange, che è un'equazione differenziale alle derivate parziali ellittica

 
  1. ^ a b L. I. Rudin, S. Osher e E. Fatemi, Nonlinear total variation based noise removal algorithms, in Physica D, vol. 60, 1–4, 1992, pp. 259–268, DOI:10.1016/0167-2789(92)90242-f.
  2. ^ (EN) Rudin–Osher–Fatemi Model Captures Infinity and Beyond, su IPAM, 15 aprile 2019. URL consultato il 4 agosto 2019.
  3. ^ D. Strong e T. Chan, Edge-preserving and scale-dependent properties of total variation regularization, in Inverse Problems, vol. 19, n. 6, 2003, pp. S165–S187, DOI:10.1088/0266-5611/19/6/059.
  4. ^ a b M. A. Little e Nick S. Jones, Sparse Bayesian Step-Filtering for High-Throughput Analysis of Molecular Machine Dynamics (PDF), in ICASSP 2010 Proceedings, 2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, 2010.
  5. ^ A. Chambolle, An algorithm for total variation minimization and applications, in Journal of Mathematical Imaging and Vision, vol. 20, 2004, pp. 89–97, DOI:10.1023/B:JMIV.0000011325.36760.1e.
  6. ^ Pascal Getreuer, Rudin–Osher–Fatemi Total Variation Denoising using Split Bregman (PDF), su ipol.im, 2012.