Utente:Lorsss98/Prodotto esterno

In algebra lineare, il prodotto esterno di due vettori è una matrice . Se i due vettori hanno dimensioni n e m, il loro prodotto esterno è una matrice n × m.

Il prodotto esterno si può definire in ambito più generale: dati due tensori (matrici multidimensionali di numeri), il loro prodotto esterno è un tensore. Il prodotto esterno dei tensori è anche chiamato il loro prodotto tensoriale e può essere usato per definire l' algebra tensoriale .

Il prodotto esterno differisce da:

Il prodotto scalare (noto anche come "prodotto interno"), che accetta una coppia di vettori di coordinate come input e produce uno scalare
Il prodotto di Kronecker, che accetta una coppia di matrici come input e produce una matrice a blocchi
Moltiplicazione matrice standard

Definizione

Dati due vettori di dimensione $m\times 1$ e $n\times 1$ rispettivamente

\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}

il loro prodotto esterno, denotato $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} ,$ è definito come una matrice $\mathbf {A}$ con forma $m\times n$ e il prodotto esterno è ottenuto moltiplicando ogni elemento di $\mathbf {u}$ con ogni elemento di $\mathbf {v} :$ ^[1]

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}

Alternativamente nella notazione con indici:

(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}

Indicando il prodotto scalare con $\,\cdot ,\,$ se dato un $n\times 1$ vettore $\mathbf {w} ,$ poi $(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\mathbf {w} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {u} .$ Se dato un $1\times m$ vettore $\mathbf {x} ,$ poi $\mathbf {x} (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }.$

Se $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ sono vettori della stessa dimensione, allora $\det(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )=0$ .

Il prodotto esterno $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ è equivalente a una moltiplicazione matriciale $\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\operatorname {T} },$ purché $\mathbf {u}$ è rappresentato come a $m\times 1$ vettore colonna e $\mathbf {v}$ come un $n\times 1$ vettore colonna (che rende $\mathbf {v} ^{\operatorname {T} }$ un vettore riga). ^[2] ^[3] Ad esempio, se $m=4$ e $n=3,$ poi ^[4]

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.

Per i vettori complessi, è spesso utile prendere la trasposta coniugata di $\mathbf {v} ,$ indicato $\mathbf {v} ^{\dagger }$ o $\left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}$ :

\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}

.

Contrasto con il prodotto interno euclideo

Se $m=n,$ allora si può prendere il prodotto matriciale nell'altro modo, ottenendo uno scalare (o $1\times 1$ matrice):

\left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v}

che è il prodotto interno standard per gli spazi vettoriali euclidei, ^[3] meglio conosciuto come prodotto scalare . Il prodotto interno è la traccia del prodotto esterno. ^[5] A differenza del prodotto interno, il prodotto esterno non è commutativo.

La moltiplicazione di un vettore $\mathbf {w}$ dalla matrice $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ può essere scritta in termini di prodotto interno, usando la relazione $\left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle$ .

Prodotto esterno di tensori

Dati due tensori $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$ con dimensioni $(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})$ e $(l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})$ , il loro prodotto esterno $\mathbf {u} \otimes \mathbf {v}$ è un tensore con dimensioni $(k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})$ ed elementi

(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}

Ad esempio, se $\mathbf {A}$ è di ordine 3 con dimensioni $(3,5,7)$ e $\mathbf {B}$ è di ordine 2 con dimensioni $(10,100),$ quindi il loro prodotto esterno $\mathbf {C}$ è di ordine 5 con dimensioni $(3,5,7,10,100).$ Se $\mathbf {A}$ ha una componente A_{[2, 2, 4]} = 11 e $\mathbf {B}$ ha una componente B_{[8, 88]} = 13, allora la componente di $\mathbf {C}$ formato dal prodotto esterno è C_{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143 .

Collegamento con il prodotto Kronecker

Il prodotto esterno e il prodotto Kronecker sono strettamente correlati; infatti lo stesso simbolo è comunemente usato per denotare entrambe le operazioni.

{\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Nel caso dei vettori colonna, il prodotto di Kronecker può essere visto come una forma di vettorizzazione (o appiattimento) del prodotto esterno. In particolare, per due vettori colonna $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ , possiamo scrivere:

\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )

Notare che l'ordine dei vettori è invertito nella parte destra dell'equazione.

Un'altra identità simile che evidenzia ulteriormente la somiglianza tra le operazioni è

\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v}

dove non è necessario invertire l'ordine dei vettori. L'espressione centrale usa la moltiplicazione matriciale, dove i vettori sono considerati come matrici colonna/riga.

Proprietà

Il prodotto esterno dei vettori soddisfa le seguenti proprietà:

{\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}

Il prodotto esterno dei tensori soddisfa la proprietà di associatività aggiuntiva:

(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )

Rango di un prodotto esterno

Se u e v sono entrambi diversi da zero, la matrice del prodotto esterno uv ^T ha sempre rango di matrice 1. Infatti le colonne del prodotto esterno sono tutte proporzionali alla prima colonna. Quindi sono tutti linearmente dipendenti da quella colonna, quindi la matrice è di rango uno.

("Rango della matrice" non deve essere confuso con " ordine tensoriale ", o "grado tensoriale", a volte indicato come "grado". )

Nei linguaggi di programmazione

In alcuni linguaggi di programmazione, data una funzione a due argomenti f (o un operatore binario), il prodotto esterno di f e due array unidimensionali A e B è un array bidimensionale C tale che C[i, j] = f(A[i], B[j]) . Questo è rappresentato sintatticamente in vari modi: in APL, come operatore binario infisso ∘.f ; in J, come l'avverbio postfisso f/ ; in R, come funzione outer(A, B, f) o lo speciale %o% ; ^[6] in Mathematica, come Outer[f, A, B] . In MATLAB, la funzione kron(A, B) viene utilizzato per questo prodotto. Questi spesso si generalizzano in argomenti multidimensionali e più di due argomenti.

Nella libreria Python NumPy, il prodotto esterno può essere calcolato con la funzione np.outer() . ^[7] Al contrario, np.kron risulta in un flat array. Il prodotto esterno di array multidimensionali può essere calcolato utilizzando np.multiply.outer .

Note

^ R. G. Lerner e G. L. Trigg, Encyclopaedia of Physics, 2ndª ed., VHC, 1991, ISBN 0-89573-752-3.
^ S. Lipschutz e M. Lipson, Linear Algebra, collana Schaum’s Outlines, 4thª ed., McGraw-Hill, 2009, ISBN 978-0-07-154352-1.
^ ^a ^b inf.ed.ac.uk, http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/cfcs1/lectures/cfcs_l10.pdf Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il September 6, 2020.Keller, Frank (February 23, 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product" (PDF). inf.ed.ac.uk. Retrieved September 6, 2020. Errore nelle note: Tag <ref> non valido; il nome ":0" è stato definito più volte con contenuti diversi
^ James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press ISBN 0-306-42433-9
^ Robert F. Stengel, Optimal Control and Estimation, New York, Dover Publications, 1994, p. 26, ISBN 0-486-68200-5.
^ www.rdocumentation.org, https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/outer Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 7 settembre 2020.
^ numpy.org, https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.outer.html Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 7 settembre 2020.

Categoria:Operatori bilineari Categoria:Pagine con traduzioni non revisionate

[1] R. G. Lerner e G. L. Trigg, Encyclopaedia of Physics, 2ndª ed., VHC, 1991, ISBN 0-89573-752-3.

[2] S. Lipschutz e M. Lipson, Linear Algebra, collana Schaum’s Outlines, 4thª ed., McGraw-Hill, 2009, ISBN 978-0-07-154352-1.

[:0-3] .ed.ac.uk, http://www.inf.ed.ac.uk/teaching/courses/cfcs1/lectures/cfcs_l10.pdf Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il September 6, 2020.Keller, Frank (February 23, 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product" (PDF). inf.ed.ac.uk. Retrieved September 6, 2020. Errore nelle note: Tag <ref> non valido; il nome ":0" è stato definito più volte con contenuti diversi

[4] James M. Ortega (1987) Matrix Theory: A Second Course, page 7, Plenum Press ISBN 0-306-42433-9

[5] Robert F. Stengel, Optimal Control and Estimation, New York, Dover Publications, 1994, p. 26, ISBN 0-486-68200-5.

[6] www.rdocumentation.org, https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/outer Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 7 settembre 2020.

[7] umpy.org, https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.outer.html Titolo mancante per url url (aiuto). URL consultato il 7 settembre 2020.

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