Operatore nabla

In matematica, ed in particolare nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica, il simbolo nabla () è impiegato per un particolare operatore differenziale di tipo vettoriale.

Il termine deriva dal nome di uno strumento musicale a corda della tradizione di antichi popoli della Palestina, il nebel o nabla. Si tratta di uno strumento tradizionale simile ad una lira e ad un'arpa, con una cassa acustica però di profilo triangolare, che richiama appunto quella di un delta rovesciato.[1][2] Il simbolo atled, a triangolo rovesciato somiglia alle antiche arpe e lire di Ur.

Nel contesto degli operatori differenziali, il simbolo del nebel è stato utilizzato per la prima volta dal matematico e fisico irlandese William Rowan Hamilton, nella forma del nebel a delta sdraiato.

In greco, il simbolo ανάδελτα, anádelta, ovvero un delta rovesciato richiama le arpe e lire di Ur. Questo simbolo è chiamato, molto raramente e solo nel contesto americano, anche atled ("delta" letto al contrario) a causa della sua forma a delta ( ) rovesciato. Il nome più comunemente utilizzato nella letteratura anglosassone è però "del", ovvero la prima parte della parola "delta": in effetti, il delta (propriamente, con il numero "2" a pedice) viene spesso impiegato per indicare il laplaciano.

La notazione differenziale basata sul nabla consente di indicare, con una notazione molto sintetica, gli operatori differenziali jacobiana, gradiente, divergenza e di rotazione.

Qualora lo spazio vettoriale nel quale il nabla agisce sia uni-dimensionale, la definizione del nabla coincide con la derivata ordinaria.

Il simbolo "nabla" è disponibile nel codice HTML come e nel codice LaTeX come \nabla. Nella codifica Unicode è rappresentato nella cella U+2207 o, in notazione decimale, 8711.

DefinizioneModifica

In uno spazio tridimensionale   generato da un sistema di coordinate cartesiane   con versori indicati  ,   e  , il nabla è definito come:

 

La generalizzazione per uno spazio   con funzioni di   variabili a   valori, viene scritta:

 

ImpiegoModifica

Questo operatore consente di scrivere attraverso una notazione compatta gli operatori differenziali del gradiente, la divergenza, il rotore, la derivata direzionale, il laplaciano:

 
 
 
 

dove   è una funzione reale di una o più variabili reali, mentre   è un campo, cioè una funzione vettoriale di una o più variabili reali. Il simbolo   rappresenta il prodotto scalare, mentre   il prodotto vettoriale.

Questo consente di semplificare la scrittura anche di complicate equazioni differenziali.

Definizione intrinsecaModifica

La definizione data sopra è in realtà una definizione informale che dipende dal sistema di coordinate prescelto. Si può tuttavia definire il nabla con una definizione intrinseca più generale, indipendente dal sistema di coordinate:

 

in cui   rappresenta un prodotto arbitrario (scalare, vettoriale, tensoriale o per uno scalare), mentre   è un campo scalare, vettoriale o tensoriale.   è la superficie frontiera del volume   che nel limite si riduce a un punto. In questo modo si possono definire in maniera intrinseca il gradiente, la divergenza, il rotore e gli altri operatori differenziali.

Coordinate sfericheModifica

Le equazioni che trasformano le coordinate polari in coordinate cartesiane sono:

 

Sfruttando la regola di derivazione a catena si può scrivere:

 
 
 

la stessa cosa, usando la notazione con matrici e vettori, si scrive:

 

o anche in forma più compatta:

 

avendo definito:

 
 
 
 

Si noti che:

 
 

dove si sono indicati con  i versori (ortonormali) della base dello spazio tangente alla sfera

 
 
 
 
 
 
 

Con quanto suddetto l'operatore gradiente in coordinate polari si esprime:

 

Si ha:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

da cui si ricava l'espressione del laplaciano in coordinate polari:

 
 
 

Un altro modo più comodo per ricavare il Laplaciano usa nozioni di calcolo tensoriale (notazione di Einstein per gli indici sommati):

  con   ,  

Si trovano facilmente anche gli operatori   (il legendriano) e  , che sono strettamente legati a   e   nella teoria dei momenti angolari della meccanica quantistica, infatti:

 

e calcolando:

 
 
 
 

si ottiene:

 

L'operatore   rappresenta la parte angolare di   e si può scrivere un'altra espressione importante per il laplaciano:

 

NoteModifica

Voci correlateModifica

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