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In matematica e specialmente in teoria dei gruppi, gli elementi di un gruppo possono essere divisi in classi di coniugio; gli elementi di una stessa classe di coniugio condividono molte proprietà, e il loro studio nel caso di gruppi non abeliani può essere di aiuto per la comprensione della loro struttura. Nel caso di gruppi abeliani, al contrario, ogni classe di coniugio è formata da un singolo elemento del gruppo.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un gruppo. Due elementi   e   di   sono detti coniugati se esiste un terzo elemento   in   tale che  . Si dimostra che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, ed esiste quindi una partizione di   in classi di equivalenza dette classi di coniugio:

 

ProprietàModifica

  • L'unità appartiene sempre ad una propria classe di coniugio, in particolare:  .
  • Se   è abeliano,   per ogni   in  .
  • Se due elementi   e   appartengono alla stessa classe di coniugio, allora condividono lo stesso ordine.
  • Un elemento di   appartiene al centro   di   se e solo se la sua classe di coniugio è formata solo dall'elemento stesso.
  • Se due elementi   e   sono coniugati, allora lo sono anche le loro potenze di ordine  , cioè   e  .

Coniugio come azione di gruppiModifica

Si può definire l'azione di coniugio come l'azione di   in se stesso:

 

Le orbite dell'azione di coniugio non sono altro che le classi di coniugio, mentre lo stabilizzatore di ogni elemento è il suo centralizzatore (o centralizzante).

Una formula importante che lega il concetto di centralizzante (o centralizzatore) di un elemento con la classe di coniugio dello stesso è:

 [1]

Con   la classe di coniugio di   e con   l'indice in   del centralizzante di   tramite  .

Allo stesso modo si può definire l'azione di   sulla famiglia dei sottoinsiemi o dei sottogruppi di  :

 

NoteModifica

  1. ^ Jacobson, Nathan, 1910-1999., Basic algebra, 2nd ed., Dover ed, Dover Publications, 2009, ISBN 9780486471891, OCLC 294885194. URL consultato l'8 novembre 2018.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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